Prove a partir da definição de limite que: \lim _{x \rightarrow a} \cos x=\cos a (Dica: use a fórmula \cos p-\cos q=2 \operatorname{sen} \frac{q+p}{2} \operatorname{sen} \frac{q-p}{2} e o fato que |\operatorname{sen} x| \leq|x| )
Passo 1
O enunciado pede para provar, a partir da definição de limite (épsilon–delta), que
\lim_{x\to a}\cos x = \cos a.
O que vamos usar: a identidade trigonométrica
\cos p - \cos q = 2\,\sin\!\Bigl(\frac{q+p}{2}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\frac{q-p}{2}\Bigr)
e o fato de que para todo real t vale \bigl|\sin t\bigr|\le|t|.
Passo 2
Começamos com a definição de limite. Queremos mostrar que, dado \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo x,
0<|x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |\cos x - \cos a|<\varepsilon.
Passo 3
Aplicamos a identidade com p=x e q=a:
\cos x - \cos a =2\,\sin\!\Bigl(\frac{a+x}{2}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\frac{a-x}{2}\Bigr).
Tomando valor absoluto,
|\cos x - \cos a| =2\Bigl|\sin\!\Bigl(\tfrac{a+x}{2}\Bigr)\Bigr|\;\Bigl|\sin\!\Bigl(\tfrac{a-x}{2}\Bigr)\Bigr|.
Como \bigl|\sin((a+x)/2)\bigr|\le1 e \bigl|\sin((a-x)/2)\bigr|\le\bigl|(a-x)/2\bigr|, segue
|\cos x - \cos a| \le 2\cdot1\cdot\frac{|a-x|}{2} =|x-a|.
Passo 4
Basta agora escolher \delta=\varepsilon. Se 0<|x-a|<\delta, então
|\cos x - \cos a|\le |x-a|<\delta=\varepsilon.
Isso completa a prova de que \lim_{x\to a}\cos x=\cos a.
Resposta
Escolhendo \delta=\varepsilon, obtemos |\cos x-\cos a|<\varepsilon sempre que 0<|x-a|<\delta. Portanto