Considere a função f(x)=\frac{x-a}{x+2}, onde a é o algarismo da unidade de seu RA. Se o algarismo da unidade for 2 , use o algarismo da dezena. Se este também for 2 , use o da centena. Calcule:
a) Domínio.
b) Interseções com os eixos coordenados.
c) As assíntotas, se houver.
d) Intervalos de crescimento e decrescimento.
e) Valores máximos e mínimos locais.
f) Concavidade e pontos de inflexão.
g) Faça o esboço da curva indicando os valores máximo e mínimos locais, os pontos de inflexão, e as interseções com eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{x - a}{\,x + 2\,},
onde a é um dígito fixo (o algarismo da unidade do RA). Vamos estudar:
– domínio;
– interseções com os eixos;
– assíntotas;
– crescimento e decrescimento;
– extremos locais;
– concavidade e pontos de inflexão;
– esboço da curva.

Passo 2

Domínio: a função só falha quando o denominador é zero. Logo
x + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -2
é o único ponto excluído. Portanto o domínio é
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq -2\}.

Passo 3

Interseções com os eixos:
– Interseção com o eixo x (y =0):
\frac{x - a}{x+2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - a = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = a.
Ponto (a,0).
– Interseção com o eixo y (x =0):
f(0)=\frac{0 - a}{0+2} = -\frac{a}{2}.
Ponto \bigl(0,-\tfrac{a}{2}\bigr).

Passo 4

Assíntotas:
– Vertical: ocorre em x=-2.
– Horizontal: para \lvert x\rvert\to\infty,
f(x)=\frac{x - a}{x+2} = \frac{x(1 - \tfrac{a}{x})}{x(1 + \tfrac{2}{x})} \to \frac{1-0}{1+0} = 1.
Então y=1 é assíntota horizontal.

Passo 5

Crescimento/decrescimento: calculemos
f'(x) = \frac{(1)(x+2) - (x-a)(1)}{(x+2)^2} = \frac{x+2 - x + a}{(x+2)^2} = \frac{a+2}{(x+2)^2}.
Como a é dígito, a+2>0. E (x+2)^2>0 sempre. Logo
f'(x)>0 \quad\forall x\neq -2.
Isto significa que f é crescente em cada intervalo (-\infty,-2) e (-2,\infty).

Passo 6

Extremos locais: não há pontos críticos onde f'(x)=0, pois f'(x) nunca se anula. Também não há descontinuidade de salto além da assíntota vertical. Portanto não há máximos nem mínimos locais.

Passo 7

Concavidade e ponto de inflexão: derivando de novo,
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl[(a+2)(x+2)^{-2}\bigr] = (a+2)\bigl(-2\bigr)(x+2)^{-3} = -\frac{2(a+2)}{(x+2)^3}.
Como a+2>0:
– Se x+2>0 (isto é, x>-2), então (x+2)^3>0 e f''(x)<0: côncavo para baixo em (-2,\infty).
– Se x+2<0 (isto é, x<-2), então (x+2)^3<0 e f''(x)>0: côncavo para cima em (-\infty,-2).
Não há ponto de inflexão no domínio, pois a troca de concavidade ocorre em x=-2, que não pertence ao domínio.

Passo 8

Esboço da curva:
– Ramo 1 em (-\infty,-2): crescente e côncavo para cima, aproxima-se de y=1 à direita e de -\infty à esquerda.
– Ramo 2 em (-2,\infty): crescente e côncavo para baixo, parte de +\infty logo à direita de -2 e aproxima-se de y=1 quando x\to\infty.
– Interceptos em (a,0) e \bigl(0,-\tfrac{a}{2}\bigr).
– Assíntotas: vertical x=-2, horizontal y=1.

Resposta

a) Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -2\}.
b) Interseções: (a,0) e \bigl(0,-\tfrac{a}{2}\bigr).
c) Assíntotas: vertical x=-2, horizontal y=1.
d) Crescente em (-\infty,-2) e (-2,\infty).
e) Não há máximos nem mínimos locais.
f) Côncavo para cima em (-\infty,-2), côncavo para baixo em (-2,\infty); sem pontos de inflexão no domínio.
g) Ramo esquerdo (côncavo para cima) e ramo direito (côncavo para baixo), cruzando os eixos nos pontos dados, aproximando­se de x=-2 (vertical) e y=1 (horizontal).

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