Considere a função
, onde
é o algarismo da unidade de seu RA. Se o algarismo da unidade for 2 , use o algarismo da dezena. Se este também for 2 , use o da centena. Calcule:
a) Domínio.
b) Interseções com os eixos coordenados.
c) As assíntotas, se houver.
d) Intervalos de crescimento e decrescimento.
e) Valores máximos e mínimos locais.
f) Concavidade e pontos de inflexão.
g) Faça o esboço da curva indicando os valores máximo e mínimos locais, os pontos de inflexão, e as interseções com eixos coordenados.
a) Domínio.
b) Interseções com os eixos coordenados.
c) As assíntotas, se houver.
d) Intervalos de crescimento e decrescimento.
e) Valores máximos e mínimos locais.
f) Concavidade e pontos de inflexão.
g) Faça o esboço da curva indicando os valores máximo e mínimos locais, os pontos de inflexão, e as interseções com eixos coordenados.
Passo 1
O enunciado define a função
onde
é um dígito fixo (o algarismo da unidade do RA). Vamos estudar:
– domínio;
– interseções com os eixos;
– assíntotas;
– crescimento e decrescimento;
– extremos locais;
– concavidade e pontos de inflexão;
– esboço da curva.
– domínio;
– interseções com os eixos;
– assíntotas;
– crescimento e decrescimento;
– extremos locais;
– concavidade e pontos de inflexão;
– esboço da curva.
Passo 2
Domínio: a função só falha quando o denominador é zero. Logo
é o único ponto excluído. Portanto o domínio é
Passo 3
Interseções com os eixos:
– Interseção com o eixo
(y
):
Ponto
.
– Interseção com o eixo
(x
):
Ponto
.
Passo 4
Assíntotas:
– Vertical: ocorre em
.
– Horizontal: para
,
Então
é assíntota horizontal.
Passo 5
Crescimento/decrescimento: calculemos
Como
é dígito,
. E
sempre. Logo
Isto significa que
é crescente em cada intervalo
e
.
Passo 6
Extremos locais: não há pontos críticos onde
, pois
nunca se anula. Também não há descontinuidade de salto além da assíntota vertical. Portanto não há máximos nem mínimos locais.
Passo 7
Concavidade e ponto de inflexão: derivando de novo,
Como
:
– Se
(isto é,
), então
e
: côncavo para baixo em
.
– Se
(isto é,
), então
e
: côncavo para cima em
.
Não há ponto de inflexão no domínio, pois a troca de concavidade ocorre em
, que não pertence ao domínio.
Passo 8
Esboço da curva:
– Ramo 1 em
: crescente e côncavo para cima, aproxima-se de
à direita e de
à esquerda.
– Ramo 2 em : crescente e côncavo para baixo, parte de
logo à direita de
e aproxima-se de
quando
.
– Interceptos em e
.
– Assíntotas: vertical , horizontal
.
– Ramo 2 em
– Interceptos em
– Assíntotas: vertical
Resposta
a) Domínio:
b) Interseções: e
.
c) Assíntotas: vertical , horizontal
.
d) Crescente em e
.
e) Não há máximos nem mínimos locais.
f) Côncavo para cima em , côncavo para baixo em
; sem pontos de inflexão no domínio.
g) Ramo esquerdo (côncavo para cima) e ramo direito (côncavo para baixo), cruzando os eixos nos pontos dados, aproximandose de (vertical) e
(horizontal).
b) Interseções:
c) Assíntotas: vertical
d) Crescente em
e) Não há máximos nem mínimos locais.
f) Côncavo para cima em
g) Ramo esquerdo (côncavo para cima) e ramo direito (côncavo para baixo), cruzando os eixos nos pontos dados, aproximandose de