Reduza à forma a+b i a expressão: (3 i-1)\left(\frac{1}{3}+\frac{i}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para expressar o produto de dois números complexos na forma a + b\,i, onde
(3\,i - 1)\quad\text{e}\quad\frac{1}{3} + \frac{i}{2}
são dados. O conteúdo é multiplicação de números complexos, usando a propriedade distributiva e i^2 = -1.

Passo 2

Aplicamos a distributiva para expandir
(3\,i - 1)\Bigl(\tfrac{1}{3} + \tfrac{i}{2}\Bigr) =3\,i\cdot\tfrac{1}{3} - 1\cdot\tfrac{1}{3} + 3\,i\cdot\tfrac{i}{2} - 1\cdot\tfrac{i}{2}

Passo 3

Calculamos termo a termo:
3\,i\cdot\tfrac{1}{3}=i, \quad -1\cdot\tfrac{1}{3}=-\tfrac{1}{3}, \quad 3\,i\cdot\tfrac{i}{2}=\tfrac{3}{2}\,i^2=\tfrac{3}{2}\,(-1)=-\tfrac{3}{2}, \quad -1\cdot\tfrac{i}{2}=-\tfrac{i}{2}.

Passo 4

Separamos parte real e parte imaginária:
parte real
-\tfrac{1}{3}-\tfrac{3}{2}=-\tfrac{2}{6}-\tfrac{9}{6}=-\tfrac{11}{6},
parte imaginária
i-\tfrac{i}{2}=\bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr)i=\tfrac{1}{2}\,i.

Resposta

-\frac{11}{6} + \frac{1}{2}\,i

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