Um pequeno corpo é abandonado de uma altura de
. Desprezando a resistência do ar e adotando
, determine:
a. a função da posição;
b. o gráfico posição x tempo;
c. a função da velocidade;
d. o instante em que ele atinge o solo;
e. ) a velocidade com que ele atinge o solo.
a. a função da posição;
b. o gráfico posição x tempo;
c. a função da velocidade;
d. o instante em que ele atinge o solo;
e. ) a velocidade com que ele atinge o solo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
- Um pequeno corpo é abandonado (ou seja, largado sem velocidade inicial) de uma altura de
. - Despreza-se a resistência do ar.
- Adota-se a aceleração da gravidade
.
Perguntas:
a. determinar a função da posição;
b. desenhar/descrição do gráfico posição × tempo;
c. determinar a função da velocidade;
d. achar o instante em que o corpo atinge o solo;
e. calcular a velocidade com que atinge o solo.
Passo 2
Escolha de convenção de sinais e apresentação das fórmulas básicas (aulas rapidinhas).
- Vou colocar a origem do eixo vertical no solo e tomar a direção para cima como positiva. Assim a posição inicial é
. - A aceleração é a gravidade, apontando para baixo, então, na convenção escolhida, a aceleração é constante e vale
. Com temos . - Fórmula fundamental para movimento com aceleração constante: integrar a aceleração para obter a velocidade e integrar a velocidade para obter a posição. Vou mostrar isso passo a passo (é útil para a prova).
Por que isso funciona (mini-aula): se
é a aceleração, então a velocidade é
No caso de aceleração constante
, isso vira
Integrando novamente,
Aqui:
é a posição em metros no tempo
,
a velocidade em
,
e
os valores iniciais em
, e
a aceleração em
.
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao nosso caso para obter a função da posição (resolvendo a letra a).
- Dados:
, (porque foi abandonado, sem velocidade inicial), . - Substituindo na expressão
obtemos
Portanto
Explicação prática: é uma parábola no tempo que começa em
quando
e decresce porque a aceleração puxa para baixo.
Passo 4
Gráfico posição × tempo (letra b) — como interpretar e o que desenhar no rascunho de prova.
- A equação
é uma parábola em , com coeficiente de negativo, então abre para baixo (no sentido que diminui com ). - Pontos importantes para marcar no gráfico:
(início), e o instante em que toca o solo — veremos que (mostro o cálculo no passo seguinte). Então a curva parte de em e chega em em . - A concavidade mostra que a velocidade está aumentando em módulo (vai acelerando para baixo). Em um rascunho na prova, desenhe o eixo
horizontal, eixo vertical, marque em e a parábola decrescendo até em . Não precisa de calculadora: apenas a forma parabólica é suficiente.
Passo 5
Obter a função da velocidade (letra c) — explicando a derivada/integral.
- Podemos usar a fórmula direta para aceleração constante:
Com
e
obtemos
Verificação via derivada: como
, derivando em relação a
,
o mesmo resultado. Interpretação: a velocidade é negativa (para baixo) e seu módulo cresce linearmente com
.
Passo 6
Determinar o instante em que atinge o solo (letra d) — resolução algébrica passo a passo.
- “Atingir o solo” significa
. Usamos a função encontrada:
Resolvendo:
(Descartamos a raiz negativa porque tempo negativo não faz sentido aqui.) Então o impacto ocorre em
.
Passo 7
Calcular a velocidade no instante do impacto (letra e) e interpretar direção/módulo.
- Usando
, para temos
- Interpretação: o sinal negativo indica que a velocidade está dirigida para baixo; o módulo (rapidez) é
. Então o corpo atinge o solo com velocidade de para baixo (numericamente no sistema de coordenadas escolhido).
Dica rápida para memorização: ao abandonar algo,
e a posição segue
(com eixo para cima positivo). Exemplo extra rápido: de
, o tempo seria dado por
.
Resposta
a.
(em
).
b. Gráfico: parábola , passando por
e por
; abre para baixo (posição decresce até o impacto).
c. (em
).
d. .
e. (isto é,
para baixo).
b. Gráfico: parábola
c.
d.
e.