Um pequeno corpo é abandonado de uma altura de 180 m. Desprezando a resistência do ar e adotando g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine:
a. a função da posição;
b. o gráfico posição x tempo;
c. a função da velocidade;
d. o instante em que ele atinge o solo;
e. ) a velocidade com que ele atinge o solo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
  • Um pequeno corpo é abandonado (ou seja, largado sem velocidade inicial) de uma altura de 180\\ \mathrm{m}.
  • Despreza-se a resistência do ar.
  • Adota-se a aceleração da gravidade g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    Perguntas:
    a. determinar a função da posição;
    b. desenhar/descrição do gráfico posição × tempo;
    c. determinar a função da velocidade;
    d. achar o instante em que o corpo atinge o solo;
    e. calcular a velocidade com que atinge o solo.

Passo 2

Escolha de convenção de sinais e apresentação das fórmulas básicas (aulas rapidinhas).
  • Vou colocar a origem do eixo vertical no solo e tomar a direção para cima como positiva. Assim a posição inicial é x(0)=180\\ \mathrm{m}.
  • A aceleração é a gravidade, apontando para baixo, então, na convenção escolhida, a aceleração é constante e vale a=-g. Com g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} temos a=-10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Fórmula fundamental para movimento com aceleração constante: integrar a aceleração para obter a velocidade e integrar a velocidade para obter a posição. Vou mostrar isso passo a passo (é útil para a prova).
Por que isso funciona (mini-aula): se a(t) é a aceleração, então a velocidade é
v(t)=v(0)+\int_{0}^{t} a(\tau)\,d\tau.
No caso de aceleração constante a, isso vira
v(t)=v(0)+a\,t.
Integrando novamente,
x(t)=x(0)+\int_{0}^{t} v(\tau)\,d\tau = x(0)+v(0)t+\tfrac{1}{2}a t^{2}.
Aqui: x(t) é a posição em metros no tempo t, v(t) a velocidade em \mathrm{m/s}, x(0) e v(0) os valores iniciais em t=0, e a a aceleração em \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao nosso caso para obter a função da posição (resolvendo a letra a).
  • Dados: x(0)=180\\ \mathrm{m}, v(0)=0\\ \mathrm{m/s} (porque foi abandonado, sem velocidade inicial), a=-10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Substituindo na expressão
x(t)=x(0)+v(0)t+\tfrac{1}{2}a t^{2}
obtemos
x(t)=180+0\cdot t+\tfrac{1}{2}(-10)\,t^{2}.
Portanto
x(t)=180-5\,t^{2}\quad(\mathrm{m}).
Explicação prática: é uma parábola no tempo que começa em 180 quando t=0 e decresce porque a aceleração puxa para baixo.

Passo 4

Gráfico posição × tempo (letra b) — como interpretar e o que desenhar no rascunho de prova.
  • A equação x(t)=180-5t^{2} é uma parábola em t, com coeficiente de t^{2} negativo, então abre para baixo (no sentido que x diminui com t).
  • Pontos importantes para marcar no gráfico: (0,180) (início), e o instante em que toca o solo (t_{\text{impacto}},0) — veremos que t_{\text{impacto}}=6\\ \mathrm{s} (mostro o cálculo no passo seguinte). Então a curva parte de 180 em t=0 e chega em 0 em t=6.
  • A concavidade mostra que a velocidade está aumentando em módulo (vai acelerando para baixo). Em um rascunho na prova, desenhe o eixo t horizontal, eixo x vertical, marque x=180 em t=0 e a parábola decrescendo até x=0 em t=6. Não precisa de calculadora: apenas a forma parabólica é suficiente.

Passo 5

Obter a função da velocidade (letra c) — explicando a derivada/integral.
  • Podemos usar a fórmula direta para aceleração constante:
v(t)=v(0)+a t.
Com v(0)=0 e a=-10 obtemos
v(t)=-10\,t\quad(\mathrm{m/s}).
Verificação via derivada: como x(t)=180-5t^{2}, derivando em relação a t,
v(t)=\frac{dx}{dt}=-10t,
o mesmo resultado. Interpretação: a velocidade é negativa (para baixo) e seu módulo cresce linearmente com t.

Passo 6

Determinar o instante em que atinge o solo (letra d) — resolução algébrica passo a passo.
  • “Atingir o solo” significa x(t)=0. Usamos a função encontrada:
180-5t^{2}=0.
Resolvendo:
5t^{2}=180,
t^{2}=\frac{180}{5}=36,
t=\sqrt{36}=6\\ \mathrm{s}.
(Descartamos a raiz negativa porque tempo negativo não faz sentido aqui.) Então o impacto ocorre em t=6\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Calcular a velocidade no instante do impacto (letra e) e interpretar direção/módulo.
  • Usando v(t)=-10t, para t=6 temos
v(6)=-10\cdot 6=-60\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: o sinal negativo indica que a velocidade está dirigida para baixo; o módulo (rapidez) é 60\\ \mathrm{m/s}. Então o corpo atinge o solo com velocidade de 60\\ \mathrm{m/s} para baixo (numericamente -60\\ \mathrm{m/s} no sistema de coordenadas escolhido).
Dica rápida para memorização: ao abandonar algo, v(0)=0 e a posição segue x(t)=x_0-\tfrac{1}{2}gt^{2} (com eixo para cima positivo). Exemplo extra rápido: de 20\\ \mathrm{m}, o tempo seria dado por 20-5t^{2}=0\Rightarrow t=2\\ \mathrm{s}.

Resposta

a. x(t)=180-5t^{2} (em \mathrm{m}).
b. Gráfico: parábola x(t)=180-5t^{2}, passando por (0,180) e por (6,0); abre para baixo (posição decresce até o impacto).
c. v(t)=-10t (em \mathrm{m/s}).
d. t=6\\ \mathrm{s}.
e. v(6)=-60\\ \mathrm{m/s} (isto é, 60\\ \mathrm{m/s} para baixo).

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