Considere o movimento oscilatório de uma bandeira exposta ao vento. A frequência de oscilação da bandeira ( \omega ) é função da velocidade do vento (V), da massa específica do ar ( \rho ), da aceleração da gravidade (g), do comprimento da bandeira ( l ) e da massa do pano da bandeira por unidade de área ( \breve{\rho}_{A}, com dimensões ML-2).
Estudos prévios mostraram que o fenômeno é descrito pelos grupos adimensionais: \omega \sqrt{l / g}, V / \sqrt{l . g} e \breve{\rho}_{A} /(\rho . l).
a. Liste as grandezas dimensionais e as grandezas de base utilizadas.
b. Mostre como foram obtidos estes grupos \pi.
Deseja-se conhecer a frequência de uma bandeira de l=12,2 m, quando exposta a ventos com velocidade V=9,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sabendo que \breve{\rho}_{A}=0,94 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^{2}}. Para tal, foi construído um modelo de comprimento l=1,22 \mathrm{~m}. Com base nos dados listados, calcule:
c. Os valores para as grandezas \breve{\rho}_{A} e V a serem utilizados no modelo;
d. A frequência no protótipo correspondente a uma medida de frequência \omega=6 \mathrm{~Hz} no modelo.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas separadas:
(a) Listar as grandezas dimensionais envolvidas e as grandezas de base escolhidas.
(b) Mostrar como foram obtidos os três grupos adimensionais (os \pi fornecidos).
(c) Para o modelo (comprimento l_{\rm m}=1{,}22\\ \mathrm{m}) calcular os valores de \breve{\rho}_{A} e V que devem ser usados no modelo, dado o protótipo com l_{\rm p}=12{,}2\\ \mathrm{m}, V_{\rm p}=9{,}1\\ \mathrm{m/s} e \breve{\rho}_{A,p}=0{,}94\\ \mathrm{kg/m^{2}}.
(d) Usando uma medida de frequência \omega_{\rm m}=6\\ \mathrm{Hz} no modelo, calcular a frequência correspondente no protótipo \omega_{\rm p}.
Informações/dados dados no enunciado (peguei estes valores do enunciado):
grandezas: \omega (frequência, unidades de \mathrm{s^{-1}}); V (velocidade do vento, \mathrm{m/s}); \rho (massa específica do ar, \mathrm{kg/m^3}); g (gravidade, \mathrm{m/s^2}); l (comprimento da bandeira, \mathrm{m}); \breve{\rho}_{A} (massa do pano por unidade de área, dimensões \mathrm{M\,L^{-2}}, unidades \mathrm{kg/m^2}).
Breve aula: o Teorema de Buckingham \pi diz que se há n grandezas envolvidas e elas dependem de r grandezas fundamentais independentes (aqui r=3: massa, comprimento e tempo), então é possível formar n-r grupos adimensionais independentes.
Primeiro identificamos as dimensões de cada grandeza (tudo em termos de M, L, T):
\omega: dimensão \mathrm{T^{-1}}.
V: dimensão \mathrm{L\,T^{-1}}.
\rho: dimensão \mathrm{M\,L^{-3}}.
g: dimensão \mathrm{L\,T^{-2}}.
l: dimensão \mathrm{L}.
\breve{\rho}_{A}: dimensão \mathrm{M\,L^{-2}}.
As grandezas de base (escolha natural) são: M, L, T. Não há ambiguidade: massa, comprimento e tempo.
Vamos aplicar Buckingham: aqui n=6 grandezas e r=3 dimensões fundamentais, logo deve haver 6-3=3 grupos adimensionais independentes — exatamente os três dados no enunciado.
Passo 3
Escolha das grandezas repetidas e justificativa (aula prática): precisamos escolher r=3 grandezas entre as conhecidas que sejam dimensionalmente independentes. Uma escolha conveniente (e que leva aos \pi dados) é: \rho (dimensões \mathrm{M\,L^{-3}}), g (dimensões \mathrm{L\,T^{-2}}) e l (dimensões \mathrm{L}).
Essas três são independentes (matriz de expoentes tem posto 3). Com elas formamos cada \pi multiplicando a grandeza que queremos transformar por potências destas repetidas até obter adimensionalidade.
Parte (c) — como dimensionar o modelo (aula de similaridade).
Para que o modelo reproduza o comportamento do protótipo devemos garantir igualdade dos grupos adimensionais. Como \pi_2 e \pi_3 são condições que envolvem V e \breve{\rho}_{A}, impomos:
Interpretação rápida (para animar): como o protótipo é 10 vezes maior, sua frequência é menor — faz sentido físico: objetos maiores oscilam mais devagar.
Resposta
(a) Grandezas e dimensões (base M,L,T): \omega : \mathrm{T^{-1}}; V : \mathrm{L\,T^{-1}}; \rho : \mathrm{M\,L^{-3}}; g : \mathrm{L\,T^{-2}}; l : \mathrm{L}; \breve{\rho}_{A} : \mathrm{M\,L^{-2}}. Grandezas de base usadas: M,\\ L,\\ T.
(b) Grupos \pi obtidos (Buckingham \pi): \pi_1=\omega\sqrt{\dfrac{l}{g}},\quad \pi_2=\dfrac{V}{\sqrt{l\,g}},\quad \pi_3=\dfrac{\breve{\rho}_{A}}{\rho\, l}.
(c) Valores para o modelo (l_{\rm m}=1{,}22\\ \mathrm{m}, l_{\rm p}=12{,}2\\ \mathrm{m}): \breve{\rho}_{A,\rm m}=0{,}094\\ \mathrm{kg/m^2},\quad V_{\rm m}=2{,}88\\ \mathrm{m/s}.
(d) Frequência no protótipo correspondente a \omega_{\rm m}=6\\ \mathrm{Hz}: \omega_{\rm p}\approx 1{,}90\\ \mathrm{Hz}.