Considere o movimento oscilatório de uma bandeira exposta ao vento. A frequência de oscilação da bandeira ( \omega ) é função da velocidade do vento (V), da massa específica do ar ( \rho ), da aceleração da gravidade (g), do comprimento da bandeira ( l ) e da massa do pano da bandeira por unidade de área ( \breve{\rho}_{A}, com dimensões ML-2).
Estudos prévios mostraram que o fenômeno é descrito pelos grupos adimensionais: \omega \sqrt{l / g}, V / \sqrt{l . g} e \breve{\rho}_{A} /(\rho . l).
a. Liste as grandezas dimensionais e as grandezas de base utilizadas.
b. Mostre como foram obtidos estes grupos \pi.
Deseja-se conhecer a frequência de uma bandeira de l=12,2 m, quando exposta a ventos com velocidade V=9,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sabendo que \breve{\rho}_{A}=0,94 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^{2}}. Para tal, foi construído um modelo de comprimento l=1,22 \mathrm{~m}. Com base nos dados listados, calcule:
c. Os valores para as grandezas \breve{\rho}_{A} e V a serem utilizados no modelo;
d. A frequência no protótipo correspondente a uma medida de frequência \omega=6 \mathrm{~Hz} no modelo.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas separadas:
  • (a) Listar as grandezas dimensionais envolvidas e as grandezas de base escolhidas.
  • (b) Mostrar como foram obtidos os três grupos adimensionais (os \pi fornecidos).
  • (c) Para o modelo (comprimento l_{\rm m}=1{,}22\\ \mathrm{m}) calcular os valores de \breve{\rho}_{A} e V que devem ser usados no modelo, dado o protótipo com l_{\rm p}=12{,}2\\ \mathrm{m}, V_{\rm p}=9{,}1\\ \mathrm{m/s} e \breve{\rho}_{A,p}=0{,}94\\ \mathrm{kg/m^{2}}.
  • (d) Usando uma medida de frequência \omega_{\rm m}=6\\ \mathrm{Hz} no modelo, calcular a frequência correspondente no protótipo \omega_{\rm p}.
Informações/dados dados no enunciado (peguei estes valores do enunciado):
  • grandezas: \omega (frequência, unidades de \mathrm{s^{-1}}); V (velocidade do vento, \mathrm{m/s}); \rho (massa específica do ar, \mathrm{kg/m^3}); g (gravidade, \mathrm{m/s^2}); l (comprimento da bandeira, \mathrm{m}); \breve{\rho}_{A} (massa do pano por unidade de área, dimensões \mathrm{M\,L^{-2}}, unidades \mathrm{kg/m^2}).
  • dados numéricos: l_{\rm p}=12{,}2\\ \mathrm{m}, V_{\rm p}=9{,}1\\ \mathrm{m/s}, \breve{\rho}_{A,p}=0{,}94\\ \mathrm{kg/m^2}, l_{\rm m}=1{,}22\\ \mathrm{m}, \omega_{\rm m}=6\\ \mathrm{Hz}.

Passo 2

Breve aula: o Teorema de Buckingham \pi diz que se há n grandezas envolvidas e elas dependem de r grandezas fundamentais independentes (aqui r=3: massa, comprimento e tempo), então é possível formar n-r grupos adimensionais independentes.
Primeiro identificamos as dimensões de cada grandeza (tudo em termos de M, L, T):
  • \omega: dimensão \mathrm{T^{-1}}.
  • V: dimensão \mathrm{L\,T^{-1}}.
  • \rho: dimensão \mathrm{M\,L^{-3}}.
  • g: dimensão \mathrm{L\,T^{-2}}.
  • l: dimensão \mathrm{L}.
  • \breve{\rho}_{A}: dimensão \mathrm{M\,L^{-2}}.
As grandezas de base (escolha natural) são: M, L, T. Não há ambiguidade: massa, comprimento e tempo.
Vamos aplicar Buckingham: aqui n=6 grandezas e r=3 dimensões fundamentais, logo deve haver 6-3=3 grupos adimensionais independentes — exatamente os três dados no enunciado.

Passo 3

Escolha das grandezas repetidas e justificativa (aula prática): precisamos escolher r=3 grandezas entre as conhecidas que sejam dimensionalmente independentes. Uma escolha conveniente (e que leva aos \pi dados) é:
\rho (dimensões \mathrm{M\,L^{-3}}), g (dimensões \mathrm{L\,T^{-2}}) e l (dimensões \mathrm{L}).
Essas três são independentes (matriz de expoentes tem posto 3). Com elas formamos cada \pi multiplicando a grandeza que queremos transformar por potências destas repetidas até obter adimensionalidade.
Agora derivamos cada \pi passo a passo.

Passo 4

Derivação de [\pi_1) envolvendo \omega.
Procuramos expoentes a,b,c tais que
\pi_1=\omega\, l^{a}\, g^{b}\, \rho^{c}
seja adimensional. Escrevemos as dimensões:
\text{dim}(\pi_1)=\mathrm{T^{-1}}\cdot \mathrm{L^{a}}\cdot (\mathrm{L\,T^{-2}})^{b}\cdot (\mathrm{M\,L^{-3}})^{c}.
Agrupando expoentes em M,L,T:
\text{dim}(\pi_1)=\mathrm{M^{c}}\;\mathrm{L^{a+b-3c}}\;\mathrm{T^{-1-2b}}.
Para ser adimensional, os expoentes de M,L,T devem ser zero. Assim obtemos o sistema:
\begin{cases} c=0,\\[2pt] -1-2b=0,\\[2pt] a+b-3c=0. \end{cases}
Da segunda equação b=-\tfrac{1}{2}\]. Com \(c=0, da terceira vem a=+\tfrac{1}{2}. Portanto
\pi_1=\omega\, l^{1/2}\, g^{-1/2}=\omega\sqrt{\dfrac{l}{g}}.
Esse é exatamente o primeiro grupo dado.]

Passo 5

Derivação de [\pi_2) envolvendo V.
Procuramos a,b,c tal que
\pi_2=V\, l^{a}\, g^{b}\, \rho^{c}
seja adimensional. Dimensões:
\text{dim}(\pi_2)=\mathrm{L\,T^{-1}}\cdot \mathrm{L^{a}}\cdot (\mathrm{L\,T^{-2}})^{b}\cdot (\mathrm{M\,L^{-3}})^{c}.
Agrupando:
\text{dim}(\pi_2)=\mathrm{M^{c}}\;\mathrm{L^{1+a+b-3c}}\;\mathrm{T^{-1-2b}}.
Zerando expoentes:
\begin{cases} c=0,\\[2pt] -1-2b=0,\\[2pt] 1+a+b-3c=0. \end{cases}
Novamente b=-\tfrac{1}{2}\], \(c=0. Da terceira a=-\tfrac{1}{2}. Logo
\pi_2=V\, l^{-1/2}\, g^{-1/2}=\dfrac{V}{\sqrt{l\,g}}.
Esse é o segundo grupo do enunciado.]

Passo 6

Derivação de [\pi_3) envolvendo \breve{\rho}_{A}.
Procuramos a,b,c tais que
\pi_3=\breve{\rho}_{A}\, l^{a}\, g^{b}\, \rho^{c}
seja adimensional. Dimensões:
\text{dim}(\pi_3)=\mathrm{M\,L^{-2}}\cdot \mathrm{L^{a}}\cdot (\mathrm{L\,T^{-2}})^{b}\cdot (\mathrm{M\,L^{-3}})^{c}.
Agrupando:
\text{dim}(\pi_3)=\mathrm{M^{1+c}}\;\mathrm{L^{-2+a+b-3c}}\;\mathrm{T^{-2b}}.
Zerando expoentes:
\begin{cases} 1+c=0,\\[2pt] -2+a+b-3c=0,\\[2pt] -2b=0. \end{cases}
Da última b=0\]. Da primeira \(c=-1. Substituindo na segunda: -2+a+0-3(-1)=0\Rightarrow -2+a+3=0\Rightarrow a=-1. Portanto
\pi_3=\breve{\rho}_{A}\, l^{-1}\, \rho^{-1}=\dfrac{\breve{\rho}_{A}}{\rho\, l},
que é o terceiro grupo do enunciado.
Observação: assim obtivemos os três \pi do enunciado e portanto a relação funcional pode ser escrita genericamente como
\pi_1 = F(\pi_2,\pi_3),
ou seja
\omega\sqrt{\dfrac{l}{g}} = F\!\left(\dfrac{V}{\sqrt{l g}},\\ \dfrac{\breve{\rho}_{A}}{\rho\, l}\right).]

Passo 7

Parte (c) — como dimensionar o modelo (aula de similaridade).
Para que o modelo reproduza o comportamento do protótipo devemos garantir igualdade dos grupos adimensionais. Como \pi_2 e \pi_3 são condições que envolvem V e \breve{\rho}_{A}, impomos:
\pi_{2,\rm m}=\pi_{2,\rm p},\qquad \pi_{3,\rm m}=\pi_{3,\rm p}.
Escrevemos explicitamente:
Igualdade de \pi_2:
\dfrac{V_{\rm m}}{\sqrt{l_{\rm m}g}}=\dfrac{V_{\rm p}}{\sqrt{l_{\rm p}g}} \quad\Rightarrow\quad V_{\rm m}=V_{\rm p}\sqrt{\dfrac{l_{\rm m}}{l_{\rm p}}}.
Igualdade de \pi_3:
\dfrac{\breve{\rho}_{A,\rm m}}{\rho\, l_{\rm m}}=\dfrac{\breve{\rho}_{A,\rm p}}{\rho\, l_{\rm p}} \quad\Rightarrow\quad \breve{\rho}_{A,\rm m}=\breve{\rho}_{A,\rm p}\,\dfrac{l_{\rm m}}{l_{\rm p}}.
(Repare que \rho cancela: não precisamos do valor numérico da densidade do ar para esse escalonamento.)
Agora aplicamos números. A razão de escala de comprimentos é
\dfrac{l_{\rm m}}{l_{\rm p}}=\dfrac{1{,}22}{12{,}2}=0{,}10.
Logo
V_{\rm m}=9{,}1\\ \mathrm{m/s}\times\sqrt{0{,}10}=9{,}1\times 0{,}31622777\ldots\approx 2{,}88\\ \mathrm{m/s},
e
\breve{\rho}_{A,\rm m}=0{,}94\\ \mathrm{kg/m^2}\times 0{,}10 = 0{,}094\\ \mathrm{kg/m^2}.

Passo 8

Parte (d) — escala da frequência entre modelo e protótipo.
Igualando \pi_1 entre modelo e protótipo:
\omega_{\rm m}\sqrt{\dfrac{l_{\rm m}}{g}}=\omega_{\rm p}\sqrt{\dfrac{l_{\rm p}}{g}} \quad\Rightarrow\quad \omega_{\rm p}=\omega_{\rm m}\sqrt{\dfrac{l_{\rm m}}{l_{\rm p}}}.
Usando \omega_{\rm m}=6\\ \mathrm{Hz} e \dfrac{l_{\rm m}}{l_{\rm p}}=0{,}10,
\omega_{\rm p}=6\\ \mathrm{Hz}\times\sqrt{0{,}10}=6\times 0{,}31622777\ldots \approx 1{,}90\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação rápida (para animar): como o protótipo é 10 vezes maior, sua frequência é menor — faz sentido físico: objetos maiores oscilam mais devagar.

Resposta

(a) Grandezas e dimensões (base M,L,T): \omega : \mathrm{T^{-1}}; V : \mathrm{L\,T^{-1}}; \rho : \mathrm{M\,L^{-3}}; g : \mathrm{L\,T^{-2}}; l : \mathrm{L}; \breve{\rho}_{A} : \mathrm{M\,L^{-2}}. Grandezas de base usadas: M,\\ L,\\ T.
(b) Grupos \pi obtidos (Buckingham \pi):
\pi_1=\omega\sqrt{\dfrac{l}{g}},\quad \pi_2=\dfrac{V}{\sqrt{l\,g}},\quad \pi_3=\dfrac{\breve{\rho}_{A}}{\rho\, l}.
(c) Valores para o modelo ( l_{\rm m}=1{,}22\\ \mathrm{m}, l_{\rm p}=12{,}2\\ \mathrm{m}):
\breve{\rho}_{A,\rm m}=0{,}094\\ \mathrm{kg/m^2},\quad V_{\rm m}=2{,}88\\ \mathrm{m/s}.
(d) Frequência no protótipo correspondente a \omega_{\rm m}=6\\ \mathrm{Hz}:
\omega_{\rm p}\approx 1{,}90\\ \mathrm{Hz}.

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