Em um pequeno edifício, uma bomba é utilizada para recalcar água de um reservatório subterrâneo para uma caixa de água (
e
) situada no topo do edifício. A tubulação é de PVC, onde a rugosidade (
) é igual à
, o diâmetro é de
" ( 0,5 polegadas) e a vazão de água é
. Considerando o reservatório subterrâneo com grandes dimensões e aberto para a atmosfera,
, determine:
a) a velocidade do escoamento na tubulação; (
pt)
b) o número de Reynolds; (1,0 pt)
c) o coeficiente de perda de carga distribuída; (
pt)
d) a altura manométrica da bomba (
); (
pt)
e) a potência mecânica da bomba (em hp), considerando seu rendimento de 65%;(1,0 pt)
a) a velocidade do escoamento na tubulação; (
b) o número de Reynolds; (1,0 pt)
c) o coeficiente de perda de carga distribuída; (
d) a altura manométrica da bomba (
e) a potência mecânica da bomba (em hp), considerando seu rendimento de 65%;(1,0 pt)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei alguns comprimentos da imagem enviada).
Dados fornecidos:
- Vazão volumétrica:
. - Diâmetro da tubulação:
- Densidade da água:
- Viscosidade dinâmica:
- Rugosidade absoluta da tubulação:
- Aceleração da gravidade:
- Rendimento da bomba:
O enunciado pede:
(a) velocidade do escoamento na tubulação;
(b) número de Reynolds;
(c) coeficiente de perda de carga distribuída (f, fator de atrito de Darcy);
(d) altura manométrica da bomba ;
(e) potência mecânica da bomba em hp, considerando .
(a) velocidade do escoamento na tubulação;
(b) número de Reynolds;
(c) coeficiente de perda de carga distribuída (f, fator de atrito de Darcy);
(d) altura manométrica da bomba
(e) potência mecânica da bomba em hp, considerando
Informações extraídas da imagem (usadas nos cálculos de perdas por atrito):
- Desnível vertical entre reservatório subterrâneo e caixa no topo:
. - Trecho horizontal junto à base:
.
Observação sobre comprimento da tubulação:
- Vou assumir comprimento total da tubulação igual a soma do desnível vertical mais o trecho horizontal mostrado na imagem, isto é
. Se houver outro comprimento diferente, os resultados de perda por atrito e potência mudam proporcionalmente.
Passo 2
Calculando a área da seção e a velocidade média usando a equação da continuidade.
Fórmula da área da seção circular:
onde
é a área (
) e
é o diâmetro (
).
Cálculo numérico:
Fórmula da velocidade média:
onde
é a velocidade média (
) e
a vazão (
).
Cálculo numérico:
Pequeno comentário didático: a equação
vem da conservação de massa para fluxo incompressível — a mesma vazão atravessa qualquer seção, logo a velocidade média é vazão dividida por área.
Passo 3
Calcular o número de Reynolds e interpretar o regime de escoamento.
Fórmula do número de Reynolds:
onde
é a densidade (
),
a velocidade média (
),
o diâmetro (
) e
a viscosidade dinâmica (
).
Cálculo numérico:
Interpretação: como
, o escoamento é turbulentíssimo. Portanto devemos usar uma correlação adequada para o fator de atrito em escoamento turbulento em parede rugosa.
Passo 4
Determinar o coeficiente de perda de carga distribuída
(fator de Darcy) usando uma fórmula explícita apropriada para escoamento turbulento em tubos rugosos.
Motivação e escolha de método:
- A fórmula implícita de Colebrook exige iteração. Uma forma explícita de boa precisão é a fórmula de Swamee–Jain, adequada para escoamento totalmente turbulento e para cálculo direto de
:
Aqui
é a rugosidade absoluta (
),
o diâmetro (
) e
o número de Reynolds.
Vamos calcular os termos:
Somando:
Agora o logaritmo e
:
Comentário didático: o fator
cresce com a rugosidade relativa
e decresce com
. Aqui a rugosidade relativa é grande (≈1,4%), por isso
não é pequeno.
Passo 5
Calcular a perda de carga distribuída ao longo do comprimento da tubulação usando a equação de Darcy–Weisbach.
Fórmula da perda de carga por atrito:
onde
é a perda de carga (m),
o fator de Darcy (adimensional),
o comprimento da tubulação (m),
o diâmetro (m),
a velocidade média (m/s) e
a gravidade (m/s^2).
Usando
(23 m vertical + 5 m horizontal da imagem),
,
,
e
:
Calcule
:
Calcule
:
Agora
:
Comentário: essa perda é muito grande porque a velocidade é alta em um tubo muito estreito e o comprimento relativo
é enorme. É a razão pela qual em instalações reais se evita transportar vazões altas por diâmetros tão pequenos: as perdas por atrito explodem.
Passo 6
Determinar a altura manométrica da bomba
.
Considerações:
- Os dois reservatórios (subterrâneo e caixa no topo) são abertos à atmosfera, logo a diferença de pressão nos pontos livres é nula; despreza-se a energia cinética dos reservatórios por terem área muito maior que a tubulação.
- A altura manométrica necessária é a soma do desnível geométrico e das perdas por atrito distribuídas (aqui desprezamos perdas singulares menores; se houver válvulas, curvas fechadas etc., deve-se acrescentar perdas locais).
Logo:
onde
(diferença de cota entre superfície do reservatório subterrâneo e superfície da caixa no topo).
Cálculo:
Passo 7
Calcular a potência hidráulica necessária e a potência mecânica da bomba (considerando rendimento).
Potência hidráulica (potência entregue ao fluido):
onde
em W,
em
,
em
,
em
e
em m.
Cálculo:
Potência mecânica requerida (na árvore da bomba), considerando rendimento
:
Converter para horsepower (
):
Observação didática: se houver perdas locais (curvas, entradas, válvulas), somam-se a
através de
e aumentariam ainda mais
. Aqui desprezamos essas perdas por não terem sido fornecidos os coeficientes.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)