Em um pequeno edifício, uma bomba é utilizada para recalcar água de um reservatório subterrâneo para uma caixa de água ( \rho=999 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mu=10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s} ) situada no topo do edifício. A tubulação é de PVC, onde a rugosidade ( \varepsilon ) é igual à 0,18 \mathrm{~mm}, o diâmetro é de 1 / 2 " ( 0,5 polegadas) e a vazão de água é 2 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Considerando o reservatório subterrâneo com grandes dimensões e aberto para a atmosfera, g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} 1^{\prime \prime}=2,54 \mathrm{~cm} 1 \mathrm{hp}=745,7 \mathrm{~W}, determine:
a) a velocidade do escoamento na tubulação; ( \mathbf{0 , 5} pt)
b) o número de Reynolds; (1,0 pt)
c) o coeficiente de perda de carga distribuída; ( \mathbf{1 , 0} pt)
d) a altura manométrica da bomba ( \mathrm{h}_{\mathrm{b}} ); ( \mathbf{1 , 0} pt)
e) a potência mecânica da bomba (em hp), considerando seu rendimento de 65%;(1,0 pt)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei alguns comprimentos da imagem enviada).
Dados fornecidos:
  • Vazão volumétrica: \,Q=2\\ \mathrm{L/s}=0{,}002\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Diâmetro da tubulação: \,D=\tfrac{1}{2}''=0{,}5''=0{,}5\times0{,}0254\\ \mathrm{m}=0{,}01270\\ \mathrm{m}.
  • Densidade da água: \,\rho=999\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Viscosidade dinâmica: \,\mu=10^{-3}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
  • Rugosidade absoluta da tubulação: \,\varepsilon=0{,}18\\ \mathrm{mm}=0{,}00018\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Rendimento da bomba: \,\eta=65\%=0{,}65.
O enunciado pede:
(a) velocidade do escoamento na tubulação;
(b) número de Reynolds;
(c) coeficiente de perda de carga distribuída (f, fator de atrito de Darcy);
(d) altura manométrica da bomba \,h_b;
(e) potência mecânica da bomba em hp, considerando \eta=0{,}65.
Informações extraídas da imagem (usadas nos cálculos de perdas por atrito):
  • Desnível vertical entre reservatório subterrâneo e caixa no topo: \,23\\ \mathrm{m}.
  • Trecho horizontal junto à base: \,5\\ \mathrm{m}.
Observação sobre comprimento da tubulação:
  • Vou assumir comprimento total da tubulação igual a soma do desnível vertical mais o trecho horizontal mostrado na imagem, isto é \,L=23+5=28\\ \mathrm{m}. Se houver outro comprimento diferente, os resultados de perda por atrito e potência mudam proporcionalmente.

Passo 2

Calculando a área da seção e a velocidade média usando a equação da continuidade.
Fórmula da área da seção circular:
A=\frac{\pi D^{2}}{4},
onde A é a área ( \mathrm{m^2}) e D é o diâmetro ( \mathrm{m}).
Cálculo numérico:
A=\frac{\pi (0{,}01270)^{2}}{4}=0{,}000126645\\ \mathrm{m^2}\\ (\text{aprox.}).
Fórmula da velocidade média:
v=\frac{Q}{A},
onde v é a velocidade média ( \mathrm{m/s}) e Q a vazão ( \mathrm{m^3/s}).
Cálculo numérico:
v=\frac{0{,}002}{0{,}000126645}\approx15{,}79\\ \mathrm{m/s}.
Pequeno comentário didático: a equação v=Q/A vem da conservação de massa para fluxo incompressível — a mesma vazão atravessa qualquer seção, logo a velocidade média é vazão dividida por área.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e interpretar o regime de escoamento.
Fórmula do número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu},
onde \rho é a densidade ( \mathrm{kg/m^3}), v a velocidade média ( \mathrm{m/s}), D o diâmetro ( \mathrm{m}) e \mu a viscosidade dinâmica ( \mathrm{kg/(m\cdot s)}).
Cálculo numérico:
\mathrm{Re}=\frac{999\times15{,}79\times0{,}01270}{1\times10^{-3}}\approx2{,}00\times10^{5}.
Interpretação: como \mathrm{Re}\gg4000, o escoamento é turbulentíssimo. Portanto devemos usar uma correlação adequada para o fator de atrito em escoamento turbulento em parede rugosa.

Passo 4

Determinar o coeficiente de perda de carga distribuída f (fator de Darcy) usando uma fórmula explícita apropriada para escoamento turbulento em tubos rugosos.
Motivação e escolha de método:
  • A fórmula implícita de Colebrook exige iteração. Uma forma explícita de boa precisão é a fórmula de Swamee–Jain, adequada para escoamento totalmente turbulento e para cálculo direto de f:
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Aqui \varepsilon é a rugosidade absoluta ( \mathrm{m}), D o diâmetro ( \mathrm{m}) e \mathrm{Re} o número de Reynolds.
Vamos calcular os termos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{0{,}00018}{3{,}7\times0{,}01270}\approx0{,}003830,
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=\frac{5{,}74}{(2{,}0036\times10^{5})^{0{,}9}}\approx9{,}71\times10^{-5}.
Somando:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx0{,}003927.
Agora o logaritmo e f:
\log_{10}(0{,}003927)\approx-2{,}4060,
f=\frac{0{,}25}{(-2{,}4060)^{2}}\approx0{,}04317.
Comentário didático: o fator f cresce com a rugosidade relativa \varepsilon/D e decresce com \mathrm{Re}. Aqui a rugosidade relativa é grande (≈1,4%), por isso f não é pequeno.

Passo 5

Calcular a perda de carga distribuída ao longo do comprimento da tubulação usando a equação de Darcy–Weisbach.
Fórmula da perda de carga por atrito:
h_f = f\frac{L}{D}\frac{v^{2}}{2g},
onde h_f é a perda de carga (m), f o fator de Darcy (adimensional), L o comprimento da tubulação (m), D o diâmetro (m), v a velocidade média (m/s) e g a gravidade (m/s^2).
Usando L=28\\ \mathrm{m} (23 m vertical + 5 m horizontal da imagem), f=0{,}04317, D=0{,}01270\\ \mathrm{m}, v=15{,}79\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
Calcule v^{2}/(2g):
\frac{v^{2}}{2g}=\frac{(15{,}79)^{2}}{2\times9{,}8}\approx12{,}73\\ \mathrm{m}.
Calcule L/D:
\frac{L}{D}=\frac{28}{0{,}01270}\approx2204{,}7.
Agora h_f:
h_f = 0{,}04317\times2204{,}7\times12{,}73\approx1216{,}6\\ \mathrm{m}.
Comentário: essa perda é muito grande porque a velocidade é alta em um tubo muito estreito e o comprimento relativo L/D é enorme. É a razão pela qual em instalações reais se evita transportar vazões altas por diâmetros tão pequenos: as perdas por atrito explodem.

Passo 6

Determinar a altura manométrica da bomba \,h_b.
Considerações:
  • Os dois reservatórios (subterrâneo e caixa no topo) são abertos à atmosfera, logo a diferença de pressão nos pontos livres é nula; despreza-se a energia cinética dos reservatórios por terem área muito maior que a tubulação.
  • A altura manométrica necessária é a soma do desnível geométrico e das perdas por atrito distribuídas (aqui desprezamos perdas singulares menores; se houver válvulas, curvas fechadas etc., deve-se acrescentar perdas locais).
Logo:
h_b = \Delta z + h_f,
onde \Delta z=23\\ \mathrm{m} (diferença de cota entre superfície do reservatório subterrâneo e superfície da caixa no topo).
Cálculo:
h_b = 23{,}0 + 1216{,}6 \approx 1239{,}6\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular a potência hidráulica necessária e a potência mecânica da bomba (considerando rendimento).
Potência hidráulica (potência entregue ao fluido):
P_{h}=\rho g Q h_b,
onde P_h em W, \rho em \mathrm{kg/m^3}, g em \mathrm{m/s^2}, Q em \mathrm{m^3/s} e h_b em m.
Cálculo:
P_{h}=999\times9{,}8\times0{,}002\times1239{,}6\approx24\,259\\ \mathrm{W}.
Potência mecânica requerida (na árvore da bomba), considerando rendimento \eta:
P_{mot}=\frac{P_{h}}{\eta}=\frac{24\,259}{0{,}65}\approx37\,291\\ \mathrm{W}.
Converter para horsepower ( \,1\\ \mathrm{hp}=745{,}7\\ \mathrm{W}):
P_{mot,\\ hp}=\frac{37\,291}{745{,}7}\approx50{,}0\\ \mathrm{hp}.
Observação didática: se houver perdas locais (curvas, entradas, válvulas), somam-se a h_f através de h_{local}=\sum K \, v^2/(2g) e aumentariam ainda mais h_b. Aqui desprezamos essas perdas por não terem sido fornecidos os coeficientes.

Resposta

(a) v\approx15{,}79\\ \mathrm{m/s}
(b) \mathrm{Re}\approx2{,}00\times10^{5}
(c) f\approx0{,}0432
(d) h_{b}\approx1{,}239{,}6\\ \mathrm{m}
(e) P_{mot}\approx50{,}0\\ \mathrm{hp}

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