Um pequeno objeto é arremessado obliquamente com uma inclinação theta acima da horizontal. No mesmo instante deixa-se cair um segundo objeto de uma altura H acima do solo. Determine o módulo da velocidade do primeiro objeto ( v1 i ), de tal forma que colidam no instante em que este primeiro se encontrar em sua altura máxima. Dê sua resposta em termos de g , H e theta. Despreze a resistência do ar.

Passo 1

Beleza, mission briefing: temos dois objetos partindo no mesmo instante. O primeiro é arremessado obliquamente com velocidade inicial v1i e ângulo theta acima da horizontal. O segundo é simplesmente largado do repouso a uma altura H. Queremos ajustar v1i de modo que eles se choquem exatamente quando o primeiro atingir sua altura máxima.
Matéria: Cinemática do movimento oblíquo e queda livre.
O que vamos usar:
  • Decomposição da velocidade inicial em v1i,x e v1i,y.
  • Fórmula do tempo para atingir altura máxima (quando vy=0).
  • Equação do espaço vertical para cada objeto.

Passo 2

Primeiro, lembra da decomposição da velocidade no lançamento oblíquo:
v1i,x = v1icostheta (horizontal)
v1i,y = v1isintheta (vertical)
Na altura máxima, a velocidade vertical do primeiro objeto zera:
vy(tmax) = v1i,y - g,tmax = 0
Logo,
tmax = v1i,yg = v1i,sinthetag

Passo 3

Agora, a altura que o primeiro objeto alcança em tmax. A fórmula geral do movimento vertical (com aceleração -g) é
y1(t) = y1,0 + v1i,y,t - tfrac12,g,t^2,
e aqui y1,0=0. Então em tmax:
$$y_max = v_{1i,y},t_max - \tfrac12,g,t_max^2
= v_{1i}\sin\theta\cdot\frac{v_{1i}\sin\theta}{g} ;-; \tfrac12,g,\Bigl(\frac{v_{1i}\sin\theta}{g}\Bigr)^2$$
$$\quad = \frac{v_{1i}2\sin2\theta}{g} ;-; \frac{v_{1i}2\sin2\theta}{2g}
= \frac{v_{1i}2\sin2\theta}{2g}.$$

Passo 4

Para o segundo objeto (queda livre a partir de y2,0=H, sem velocidade inicial), a altura em qualquer tempo t é
y2(t) = H - tfrac12,g,t^2
Na colisão queremos t=tmax, então
$$y_2(t_max) = H - \tfrac12,g\Bigl(\tfrac{v_{1i}\sin\theta}{g}\Bigr)^2
= H - \frac{v_{1i}2\sin2\theta}{2g}.$$

Passo 5

Para ocorrer colisão bem na altura máxima do primeiro, basta igualar ymax e y2(tmax):
v1i^2sin^2theta2g ;=; H - v1i^2sin^2theta2g

Passo 6

Somando v1i^2sin^2theta2g dos dois lados:
v1i^2sin^2thetag = H
Então
$$v_{1i}^2 = \frac{g,H}{\sin^2\theta}
\quad\Longrightarrow\quad
v_{1i} = \frac{\sqrt{g,H}}{\sin\theta}.$$

Resposta

v1i = raizg,Hsintheta

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