Um pequeno objeto é arremessado obliquamente com uma inclinação
acima da horizontal. No mesmo instante deixa-se cair um segundo objeto de uma altura H acima do solo. Determine o módulo da velocidade do primeiro objeto (
), de tal forma que colidam no instante em que este primeiro se encontrar em sua altura máxima. Dê sua resposta em termos de g , H e
. Despreze a resistência do ar.
Passo 1
Beleza, mission briefing: temos dois objetos partindo no mesmo instante. O primeiro é arremessado obliquamente com velocidade inicial
e ângulo
acima da horizontal. O segundo é simplesmente largado do repouso a uma altura
. Queremos ajustar
de modo que eles se choquem exatamente quando o primeiro atingir sua altura máxima.
Matéria: Cinemática do movimento oblíquo e queda livre.
O que vamos usar:
Matéria: Cinemática do movimento oblíquo e queda livre.
O que vamos usar:
- Decomposição da velocidade inicial em
e . - Fórmula do tempo para atingir altura máxima (quando
). - Equação do espaço vertical para cada objeto.
Passo 2
Primeiro, lembra da decomposição da velocidade no lançamento oblíquo:
(horizontal)
(vertical)
Na altura máxima, a velocidade vertical do primeiro objeto zera:
Logo,
Logo,
Passo 3
Agora, a altura que o primeiro objeto alcança em
. A fórmula geral do movimento vertical (com aceleração
) é
e aqui
$$y_max = v_{1i,y},t_max - \tfrac12,g,t_max^2
= v_{1i}\sin\theta\cdot\frac{v_{1i}\sin\theta}{g} ;-; \tfrac12,g,\Bigl(\frac{v_{1i}\sin\theta}{g}\Bigr)^2$$
$$\quad = \frac{v_{1i}2\sin2\theta}{g} ;-; \frac{v_{1i}2\sin2\theta}{2g}
= \frac{v_{1i}2\sin2\theta}{2g}.$$
Passo 4
Para o segundo objeto (queda livre a partir de
, sem velocidade inicial), a altura em qualquer tempo
é
Na colisão queremos
$$y_2(t_max) = H - \tfrac12,g\Bigl(\tfrac{v_{1i}\sin\theta}{g}\Bigr)^2
= H - \frac{v_{1i}2\sin2\theta}{2g}.$$
Passo 5
Para ocorrer colisão bem na altura máxima do primeiro, basta igualar
e
:
Passo 6
Somando
dos dois lados:
Então
$$v_{1i}^2 = \frac{g,H}{\sin^2\theta}
\quad\Longrightarrow\quad
v_{1i} = \frac{\sqrt{g,H}}{\sin\theta}.$$