A posição r de uma partícula que se move em um plano x y é dada por r=(2 t^3-5 t) i+(6-7 t^4), com r em metros e t em segundos. Na notação de vetores unitários, calcule: (a) a posição r pata t=2,0 s, (b) a velocidade v para t=2,0 s, © a aceleração para t=2,0 s.
(d) O ângulo entre o semieixo positivo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em t=2,0 s.

Passo 1

Beleza, tamo com uma partícula se movendo no plano xy cuja posição é dada por
r(t)=l(2t^3-5tr),hatimath+l(6-7t^4r),hatjmath,
Isso é cinemática vetorial: a gente vai usar derivada pra achar velocidade e aceleração, e trigonometria pra achar o ângulo da reta tangente. Tudo que precisamos são as regras básicas de derivada (regra de potência) e a definição
vec v(t)=dvec rdt, vec a(t)=dvec vdt,
além da fórmula do ângulo de um vetor: theta=arctanl(vy/vxr).

Passo 2

(a) Queremos vec r(2,0;s). É só substituir t=2 em cada componente:
x(2)=2cdot2^3-5cdot2=2cdot8-10=16-10=6,
y(2)=6-7cdot2^4=6-7cdot16=6-112=-106
Logo
vec r(2)=6,hatimath-106,hatjmath(m)

Passo 3

(b) Pra achar vec v(t), derivamos vec r(t) componente a componente usando regra de potência:
ddt(2t^3-5t)=6t^2-5, ddt(6-7t^4)=-28t^3
Assim
vec v(t)=(6t^2-5),hatimath+(-28t^3),hatjmath
Agora em t=2:
vx(2)=6cdot2^2-5=6cdot4-5=24-5=19, vy(2)=-28cdot2^3=-28cdot8=-224
Então
vec v(2)=19,hatimath-224,hatjmath(m/s)

Passo 4

© Aceleração é a derivada de vec v(t):
ddt(6t^2-5)=12t, ddt(-28t^3)=-84t^2
Logo
vec a(t)=12t,hatimath-84t^2,hatjmath
Em t=2:
ax(2)=12cdot2=24, ay(2)=-84cdot2^2=-84cdot4=-336,
ou seja
vec a(2)=24,hatimath-336,hatjmath(m/s^2)

Passo 5

(d) O ângulo theta entre o semieixo x positivo e a reta tangente é o ângulo do vetor velocidade. Usamos
theta=arctan!l(tfracvyvxr)=arctan!l(tfrac-22419r)
Calculando, dá
thetaapprox-85,1^circ
(se preferir medir de 0 a 360, dá 360-85,1=274,9^circ).

Resposta

(a) vec r(2)=6,hatimath-106,hatjmath (m)
(b) vec v(2)=19,hatimath-224,hatjmath (m/s)
© vec a(2)=24,hatimath-336,hatjmath (m/s^2)
(d) thetaapprox -85,1^circ (ou 274,9^circ)

Exercícios relacionados