Poderia a aceleração de um projétil ser representada em termos de um componente radial e outro tangencial em cada ponto da trajetória? Em caso afirmativo, há alguma vantagem em usar esta representação?

Passo 1

O enunciado pergunta se, em cada ponto da trajetória de um projétil, podemos escrever a aceleração \mathbf{a} em termos de um componente tangencial e outro normal (ou radial) ao caminho. O conteúdo aqui é cinemática em coordenadas intrínsecas (sistema tangencial–normal), e vamos precisar das definições de aceleração tangencial a_t e normal a_n.

Passo 2

Em coordenadas intrínsecas, definimos o versor tangente \hat{\mathbf{t}} à trajetória e o versor normal \hat{\mathbf{n}} (apontando para o centro de curvatura). A aceleração \mathbf{a} de um corpo em movimento genérico se decompõe como
\mathbf{a} = a_t\,\hat{\mathbf{t}} + a_n\,\hat{\mathbf{n}},
onde
a_t = \frac{dv}{dt} \quad\text{e}\quad a_n = \frac{v^2}{\rho},
com v sendo a velocidade escalar e \rho o raio de curvatura da trajetória.

Passo 3

No caso do projétil sob gravidade constante \mathbf{g} = -g\,\hat{\jmath}, escolhendo \hat{\mathbf{t}} na direção da velocidade instantânea (ângulo \theta acima da horizontal) e \hat{\mathbf{n}} para o centro de curvatura, temos
\hat{\mathbf{t}} = \cos\theta\,\hat{\imath} + \sin\theta\,\hat{\jmath}, \quad \hat{\mathbf{n}} = -\sin\theta\,\hat{\imath} + \cos\theta\,\hat{\jmath}.
Projetando \mathbf{g} nessas direções obtém-se
a_t = \mathbf{g}\cdot\hat{\mathbf{t}} = -g\sin\theta, \quad a_n = \mathbf{g}\cdot\hat{\mathbf{n}} = +g\cos\theta.
Aqui a_t dá a variação de v e a_n a “força” que curva a trajetória.

Passo 4

A grande vantagem dessa decomposição é separar claramente os efeitos de mudança no módulo da velocidade (vetor tangencial) e de mudança na direção da velocidade (vetor normal).
  • a_t aparece diretamente em \dot v = a_t, facilitando análise de energia cinética.
  • a_n relaciona-se com o raio de curvatura \rho via a_n = v^2/\rho, dando informação imediata sobre a curvatura do trajeto e as forças centrípetas envolvidas.

Resposta

Sim. Em cada ponto da trajetória do projétil podemos escrever
\mathbf{a} = a_t\,\hat{\mathbf{t}} + a_n\,\hat{\mathbf{n}},
com a_t = dv/dt e a_n = v^2/\rho. A vantagem é que essa representação separa a contribuição responsável pela variação de velocidade (tangencial) daquela que faz a trajetória curvar (normal), simplificando análises de energia e de forças centrípetas.

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