Que vantagem há, se houver, em medir ângulos em radianos ao invés de graus?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a vantagem, se existir, de medir ângulos em radianos ao invés de graus. Para responder vamos precisar conhecer a definição de radiano a partir de geometria (relação entre arco e raio) e o impacto disso em fórmulas de cálculo (derivadas, séries, comprimentos de arco etc.).
Passo 2
Definição de radiano: em um círculo de raio
, um ângulo de medida
em radianos é exatamente o ângulo subtendido por um arco de comprimento igual a
. Ou seja, se o comprimento do arco é
, então
Em particular, esse vínculo direto entre ângulo, arco e raio não existe na medida em graus, que precisa do fator de conversão
radianos.
Passo 3
Vantagem na geometria – comprimento de arco e área de setor ficam expressos de forma simples:
Se
estivesse em graus, apareceriam fatores extras de
, complicando as fórmulas.
Passo 4
Vantagem no cálculo (análise): as derivadas e séries de funções trigonométricas só ficam simples quando o argumento está em radianos. Por exemplo,
são válidas exatamente porque
está em rad. Com graus, apareceriam constantes adicionais
em cada termo, tornando tudo bem mais feio.
Resposta
Medir em radianos torna as fórmulas de comprimento de arco, área de setor, derivadas e séries infinitas “naturais” e livres de fatores de conversão
, simplificando geometricamente e analiticamente os cálculos.