Que vantagem há, se houver, em medir ângulos em radianos ao invés de graus?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a vantagem, se existir, de medir ângulos em radianos ao invés de graus. Para responder vamos precisar conhecer a definição de radiano a partir de geometria (relação entre arco e raio) e o impacto disso em fórmulas de cálculo (derivadas, séries, comprimentos de arco etc.).

Passo 2

Definição de radiano: em um círculo de raio r, um ângulo de medida \theta em radianos é exatamente o ângulo subtendido por um arco de comprimento igual a r. Ou seja, se o comprimento do arco é s, então
\theta = \frac{s}{r}.
Em particular, esse vínculo direto entre ângulo, arco e raio não existe na medida em graus, que precisa do fator de conversão 180^\circ = \pi radianos.

Passo 3

Vantagem na geometria – comprimento de arco e área de setor ficam expressos de forma simples:
s = r\,\theta \quad\text{e}\quad \text{área do setor} = \tfrac12\,r^2\,\theta.á
Se \theta estivesse em graus, apareceriam fatores extras de \pi/180, complicando as fórmulas.

Passo 4

Vantagem no cálculo (análise): as derivadas e séries de funções trigonométricas só ficam simples quando o argumento está em radianos. Por exemplo,
\frac{d}{d\theta}\sin(\theta)=\cos(\theta) \quad\text{e}\quad \sin(\theta)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}
são válidas exatamente porque \theta está em rad. Com graus, apareceriam constantes adicionais \pi/180 em cada termo, tornando tudo bem mais feio.

Resposta

Medir em radianos torna as fórmulas de comprimento de arco, área de setor, derivadas e séries infinitas “naturais” e livres de fatores de conversão \pi/180, simplificando geometricamente e analiticamente os cálculos.

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