A percentagem de dissociação de um ácido HA, numa molaridade dada, é, a 20^{\circ} \mathrm{C} igual a 3 \%. Uma solução do referido ácido, naquela mesma molaridade e temperatura, tem pH igual a 3,2219 . Determinar a molaridade inicial do ácido e o valor do Ka.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei todos os números do próprio enunciado):
  • A percentagem de dissociação do ácido HA, na molaridade procurada e a 20^\circ\mathrm{C}, é \alpha=3\%.
  • Uma solução desse ácido, nessa mesma molaridade e temperatura, tem \mathrm{pH}=3{,}2219.
O que se pede:
  • Determinar a molaridade inicial do ácido (ou seja, a concentração inicial \,c em mol L^{-1}).
  • Determinar o valor da constante de dissociação \,K_a.

Passo 2

Vamos lembrar a definição e as relações que vamos usar (explicadinho passo a passo).
Equilíbrio de dissociação: \mathrm{HA}\rightleftharpoons\mathrm{H}^++\mathrm{A}^-.
  • Seja c a concentração inicial de \mathrm{HA} (molaridade que queremos).
  • A fracção dissociada (grau de dissociação) é \alpha. Isso significa que, quando atinge o equilíbrio, as concentrações são:
    • [\mathrm{HA}]=c(1-\alpha),
    • [\mathrm{H}^+]=c\alpha,
    • [\mathrm{A}^-]=c\alpha.
Observação prática: aqui \alpha é dado como 3\%, então vamos usar \alpha=0{,}03 (converter percentagem para número decimal).
Relação entre pH e concentração de iões hidrogénio:
[\mathrm{H}^+]=10^{-\mathrm{pH}}.
No nosso caso a contribuição de \mathrm{H}^+ da autodissociação da água é desprezível frente ao ácido (porque o pH ≈ 3 dá [\mathrm{H}^+] da ordem 10^{-3}), então podemos igualar [\mathrm{H}^+]=c\alpha.
Constante de dissociação:
K_a=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}.
Substituindo as expressões em termos de c e \alpha obtemos a fórmula prática que usaremos:
K_a=\frac{c\alpha^2}{1-\alpha}.

Passo 3

Calcular [\mathrm{H}^+] a partir do \mathrm{pH} fornecido.
[\mathrm{H}^+]=10^{-\mathrm{pH}}=10^{-3{,}2219}=10^{-3}\cdot10^{-0{,}2219}.
Para avaliar 10^{-0{,}2219} podemos usar 10^{x}=e^{x\ln 10}. Assim
10^{-0{,}2219}=e^{-0{,}2219\ln 10}.
Com \ln 10\approx2{,}302585 segue
-0{,}2219\ln 10\approx-0{,}2219\times2{,}302585\approx-0{,}5100,
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10^{-0{,}2219}\approx e^{-0{,}5100}\approx0{,}60024.
Portanto
[\mathrm{H}^+]=10^{-3}\times0{,}60024=0{,}001\times0{,}60024=6{,}0024\times10^{-4}\\ \text{mol L}^{-1}.
Vou arredondar mantendo precisão razoável: [\mathrm{H}^+]=6{,}0024\times10^{-4}\\ \mathrm{M}.

Passo 4

Encontrar a molaridade inicial c usando [\mathrm{H}^+]=c\alpha.
c=\frac{[\mathrm{H}^+]}{\alpha}.
Substituindo [\mathrm{H}^+]=6{,}0024\times10^{-4}\\ \mathrm{M} e \alpha=0{,}03:
c=\frac{6{,}0024\times10^{-4}}{0{,}03}=\frac{6{,}0024\times10^{-4}}{3\times10^{-2}}=2{,}0008\times10^{-2}\\ \mathrm{M}.
Arredondando com três algarismos significativos:
c\approx0{,}02001\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.

Passo 5

Calcular K_a usando a fórmula \displaystyle K_a=\frac{c\alpha^2}{1-\alpha}.
Primeiro calcule \alpha^2 e 1-\alpha:
\alpha^2=(0{,}03)^2=0{,}0009, \qquad 1-\alpha=1-0{,}03=0{,}97.
Agora
K_a=\frac{0{,}020008\times0{,}0009}{0{,}97}.
Calcule o numerador:
0{,}020008\times0{,}0009=1{,}80072\times10^{-5}.
Dividindo por 0{,}97:
K_a\approx\frac{1{,}80072\times10^{-5}}{0{,}97}\approx1{,}8564\times10^{-5}.
Para verificar (checagem) podemos usar a forma alternativa
K_a=\frac{[\mathrm{H}^+]^2}{c-[\mathrm{H}^+]},
substituindo [\mathrm{H}^+]=6{,}0024\times10^{-4} e c=2{,}0008\times10^{-2}. Isso dá o mesmo valor dentro do arredondamento, confirmando o resultado.

Passo 6

Interpretação e arredondamento final: os valores obtidos são consistentes entre si e coerentes com \alpha pequeno (3%). Vou apresentar os resultados com notação usual e duas ou três casas significativas.

Resposta

c\approx0{,}02001\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
K_a\approx1{,}856\times10^{-5}

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