• 9 Ao percorrer uma estrada através de região deserta, à noite, o equipamento do seu carro - velocímetro, relógio etc. sofreu uma pane por influência de nave espacial que sobrevoava a região. A sua memória foi também afetada. Ao retornar à plena consciência não podia dizer onde estava, para onde ia, com que velocidade avançava. Sua companheira, que dormia no banco do carona, não percebeu esses eventos. O seu pulso disparou, mas o da moça era normal, a 55 batidas por minuto. (a) Se forem 45 as batidas do pulso da moça, entre duas marcas sucessivas de uma milha ( 1 mi=1,6 km ), qual a velocidade do carro? (b) Se a velocidade for de 120 km / h, quantas batidas do mesmo pulso devem ser contadas por milha?

Passo 1

O enunciado descreve um carro viajando a velocidade v e, entre duas marcas sucessivas de uma milha, conta-se N batidas do pulso de sua companheira. No repouso, a moça tem frequência cardíaca f0=55 batidas por minuto. Devido à dilatação do tempo na Relatividade Especial, o tempo próprio tau que ela experimenta é menor que o tempo de viagem t medido em nosso referencial, obedecendo
tau = tgamma,
onde gamma = 1raiz1 - (v/c)^2. A relação entre número de batidas N, frequência própria f0 e tempo próprio tau é
N = f0,tau
Para resolver (a) aplicaremos essa fórmula com N=45; para (b) fixaremos v=120,km/h e acharemos N.

Passo 2

Expressamos o tempo de viagem t para percorrer uma milha no nosso referencial. Seja v em milhas por minuto; então
t = 1 miv(em minutos)
O tempo próprio da moça é
tau = tgamma = 1/vgamma
Logo, o número de batidas entre marcas é
N = f0,tau = f0,1v,gamma

Passo 3

Para o caso (a), temos N=45 e f0=55. Assim,
45 = 55;1v,gamma Longrightarrow 1v,gamma = 4555 = 911 Longrightarrow v,gamma = 119
Mas gamma = 1/raiz1 - (v/c)^2, daí
v,1raiz1 - (v/c)^2 = 119 Longrightarrow v^21 - (v/c)^2 = l(119r)^2
Rearranjando,
v^2l(1 + 1c^2r) = 1(9/11)^2 Longrightarrow v = 1raiz(9/11)^2 + 1/c^2
em unidades de milhas por minuto.

Passo 4

Numericamente, capprox1,12times10^7 mi/min faz 1/c^2ll1, de modo que
v approx 19/11 = 119 mi/min
Convertendo para km/h ( 1 mi =1,6 km e 1 min =1/60 h),
v approx 119times1,6times60 approx 117,3 km/h

Passo 5

Para (b), fixamos v=120,km/h. Primeiro convertemos em mi/min:
v = 120;kmh ;times;1 mi1,6 km ;times;1 h60 min = 12096 mi/min = 1,25 mi/min
O tempo de viagem de uma milha é
t = 11,25 = 0,8 min
A dilatação gammaapprox1, pois vll c. Logo o tempo próprio tauapprox t e o número de batidas é
N = f0,tau approx 55times0,8 = 44

Resposta

(a) vapprox117,3 km/h.
(b) Napprox44 batidas.

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