A estrela mais próxima da Terra, a alfa do Centauro, estáa a
de distância. Imagine que de um ponto próximo da estrela um astronauta faz uma encomenda numa loja da Terra, comunicando-se via sinais luminosos. O mensageiro mais rápido da loja desloca-se a
(ver o Problema 10). (a) Quanto tempo leva o pedido do astronauta para chegar à loja na Terra? (b) Quanto tempo espera o astronauta pelo recebimento da encomenda? Se a loja tem o compromisso de fazer a entrega em menos de 1000 anos, será capaz de cumpri-lo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A parada fala sobre a estrela mais próxima da Terra, a alfa do Centauro, que está a uma distância de
quilômetros. Temos duas coisas para calcular:
(a) O tempo que leva para o pedido do astronauta chegar até a loja na Terra usando sinais luminosos, ou seja, luz.
(b) O tempo total que o astronauta espera pelo recebimento da encomenda, considerando que o mensageiro viaja a
vezes a velocidade da luz (
). Além disso, queremos saber se a loja consegue entregar em menos de 1000 anos.
Vamos precisar usar conceitos de velocidade, distância e tempo, além da relação entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica que relaciona distância, velocidade e tempo:
Vamos aplicar isso para calcular o tempo que o pedido leva para ir do astronauta até a loja na Terra usando sinais de luz.
Passo 3
A velocidade da luz (
) é aproximadamente
metros por segundo, mas como a distância está em quilômetros, podemos usar
km/s.
A distância é
km.
Então, o tempo que o pedido leva para chegar é:
Passo 4
Calculando
:
Agora, vamos converter segundos para anos para facilitar a interpretação.
Sabemos que:
Então,
Passo 5
Agora, para a parte (b), precisamos considerar o tempo que o astronauta espera pela entrega da encomenda. Isso envolve o tempo do pedido chegar à Terra e o tempo da encomenda voltar para a estrela.
Além disso, a encomenda é entregue por um mensageiro que viaja a
, ou seja,
vezes a velocidade da luz.
Primeiro, calculamos o tempo que o mensageiro leva para fazer a viagem de volta.
A velocidade do mensageiro (
) é:
Passo 6
Agora, usando a mesma fórmula
, vamos calcular o tempo de ida da encomenda:
Convertendo para anos:
Passo 7
Então, o tempo total que o astronauta espera é a soma do tempo do pedido chegar à Terra e o tempo da encomenda voltar:
Resposta
(a) O pedido leva aproximadamente 433 anos para chegar à loja na Terra.
(b) O astronauta espera cerca de 4,33 milhões de anos pelo recebimento da encomenda. Portanto, a loja não será capaz de cumprir o compromisso de fazer a entrega em menos de 1000 anos.