A estrela mais próxima da Terra, a alfa do Centauro, estáa a 4,1 times 10^15 km de distância. Imagine que de um ponto próximo da estrela um astronauta faz uma encomenda numa loja da Terra, comunicando-se via sinais luminosos. O mensageiro mais rápido da loja desloca-se a 10^-4 c (ver o Problema 10). (a) Quanto tempo leva o pedido do astronauta para chegar à loja na Terra? (b) Quanto tempo espera o astronauta pelo recebimento da encomenda? Se a loja tem o compromisso de fazer a entrega em menos de 1000 anos, será capaz de cumpri-lo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A parada fala sobre a estrela mais próxima da Terra, a alfa do Centauro, que está a uma distância de 4,1 times 10^15 quilômetros. Temos duas coisas para calcular:
(a) O tempo que leva para o pedido do astronauta chegar até a loja na Terra usando sinais luminosos, ou seja, luz.
(b) O tempo total que o astronauta espera pelo recebimento da encomenda, considerando que o mensageiro viaja a 10^-4 vezes a velocidade da luz ( c). Além disso, queremos saber se a loja consegue entregar em menos de 1000 anos.
Vamos precisar usar conceitos de velocidade, distância e tempo, além da relação entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica que relaciona distância, velocidade e tempo:
Tempo = DistânciaVelocidade â
Vamos aplicar isso para calcular o tempo que o pedido leva para ir do astronauta até a loja na Terra usando sinais de luz.

Passo 3

A velocidade da luz ( c) é aproximadamente 3 times 10^8 metros por segundo, mas como a distância está em quilômetros, podemos usar c = 3 times 10^5 km/s.
A distância é 4,1 times 10^15 km.
Então, o tempo que o pedido leva para chegar é:
ta = 4,1 times 10^15 km3 times 10^5 km/s

Passo 4

Calculando ta:
ta = 4,1 times 10^153 times 10^5 = 4,13 times 10^10 segundos
ta approx 1,3667 times 10^10 segundos
Agora, vamos converter segundos para anos para facilitar a interpretação.
Sabemos que:
1 ano approx 3,154 times 10^7 segundos
Então,
ta approx 1,3667 times 10^103,154 times 10^7 approx 433 anos

Passo 5

Agora, para a parte (b), precisamos considerar o tempo que o astronauta espera pela entrega da encomenda. Isso envolve o tempo do pedido chegar à Terra e o tempo da encomenda voltar para a estrela.
Além disso, a encomenda é entregue por um mensageiro que viaja a 10^-4 c, ou seja, 10^-4 vezes a velocidade da luz.
Primeiro, calculamos o tempo que o mensageiro leva para fazer a viagem de volta.
A velocidade do mensageiro ( v) é:
v = 10^-4 c = 10^-4 times 3 times 10^5 km/s = 30 km/s

Passo 6

Agora, usando a mesma fórmula Tempo = DistânciaVelocidadeâ, vamos calcular o tempo de ida da encomenda:
tb = 4,1 times 10^15 km30 km/s = 4,130 times 10^15 segundos
tb approx 1,3667 times 10^14 segundos
Convertendo para anos:
tb approx 1,3667 times 10^143,154 times 10^7 approx 4,33 times 10^6 anos

Passo 7

Então, o tempo total que o astronauta espera é a soma do tempo do pedido chegar à Terra e o tempo da encomenda voltar:
ttotal = ta + tb approx 433 anos + 4,33 times 10^6 anos approx 4,33 times 10^6 anos

Resposta

(a) O pedido leva aproximadamente 433 anos para chegar à loja na Terra.
(b) O astronauta espera cerca de 4,33 milhões de anos pelo recebimento da encomenda. Portanto, a loja não será capaz de cumprir o compromisso de fazer a entrega em menos de 1000 anos.

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