Em um perfil longitudinal a estaca 25+12,00 \mathrm{~m} tem cota 102,32 \mathrm{~m} e a estaca 30+14,20 \mathrm{~m} tem cota 105,27 \mathrm{~m}, sendo uniforme a superfície natural do terreno entre essas estacas. Com estas informações calcular:
a) a declividade de uma rampa (greide) que passaria pelas referidas estacas, se na estaca 30+14,20 \mathrm{~m} fosse feito um corte de 2,10 \mathrm{~m} de altura e um aterro da mesma altura na estaca 25+12,00 \mathrm{~m};
b) a cota do ponto de passagem e sua distância com relação à estaca 30+14,20 \mathrm{~m};
c) a cota no terreno e na rampa para estaca 27 .

Passo 1

O enunciado dá duas estacas num perfil longitudinal com terreno uniforme entre elas:
– Estaca E_A=25+12{,}00 m ( x_A=2512{,}00 m) com cota do terreno Z_{A}=102{,}32 m.
– Estaca E_B=30+14{,}20 m ( x_B=3014{,}20 m) com cota do terreno Z_{B}=105{,}27 m.
Queremos projetar uma rampa (greide) que passe por essas estacas, fazendo corte de 2{,}10 m em E_B e aterro de 2{,}10 m em E_A.
Precisamos então:
a) a declividade da rampa;
b) o ponto onde rampa e terreno se cruzam (cota e distância a partir de E_B);
c) as cotas do terreno e da rampa na estaca 27+00.

Passo 2

Calculamos as cotas da rampa nas extremidades após corte e aterro.
Na estaca E_A: aterro de 2{,}10 m sobre Z_A, então
Z_{A,\text{rampa}}=Z_{A}+2{,}10=102{,}32+2{,}10=104{,}42\text{ m}.
Na estaca E_B: corte de 2{,}10 m de Z_B, então
Z_{B,\text{rampa}}=Z_{B}-2{,}10=105{,}27-2{,}10=103{,}17\text{ m}.

Passo 3

A distância horizontal entre as estacas é
L = x_B - x_A = 3014{,}20 - 2512{,}00 = 502{,}20\text{ m}.

Passo 4

A declividade I da rampa é a razão entre a diferença de cotas na rampa e o comprimento L:
\Delta Z_{\text{rampa}} = Z_{B,\text{rampa}} - Z_{A,\text{rampa}} =103{,}17 - 104{,}42 = -1{,}25\text{ m},
I = \frac{\Delta Z_{\text{rampa}}}{L} = \frac{-1{,}25}{502{,}20}\approx -0{,}00249 \quad\Longrightarrow\quad I\approx -0{,}249\%\text{ (descendente)}.

Passo 5

Para achar o ponto de passagem entre terreno e rampa, representamos ambas como funções lineares de x\in[x_A,x_B].
Terreno:
Z_{\text{ter}}(x) =Z_A + \frac{Z_B - Z_A}{L}(x - x_A) =102{,}32 + \frac{2{,}95}{502{,}20}\,(x-2512{,}00).
Rampa:
Z_{\text{ram}}(x) =Z_{A,\text{rampa}} + \frac{Z_{B,\text{rampa}} - Z_{A,\text{rampa}}}{L}(x - x_A) =104{,}42 + \frac{-1{,}25}{502{,}20}\,(x-2512{,}00).
Igualando Z_{\text{ter}}(x)=Z_{\text{ram}}(x):
102{,}32 + \frac{2{,}95}{502{,}20}(x-2512) =104{,}42 + \frac{-1{,}25}{502{,}20}(x-2512).
Reagrupando,
\bigl(2{,}95+1{,}25\bigr)\frac{x-2512}{502{,}20} =104{,}42-102{,}32=2{,}10 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4{,}20}{502{,}20}(x-2512)=2{,}10
x-2512 = \frac{2{,}10\cdot502{,}20}{4{,}20}=251{,}10 \quad\Longrightarrow\quad x=2763{,}10\text{ m}.
A cota comum é, por exemplo, em Z_{\text{ter}}(2763{,}10):
Z_{\text{pass}}=102{,}32 + \frac{2{,}95}{502{,}20}\,251{,}10\approx103{,}80\text{ m}.

Passo 6

A distância desse ponto até E_B ( x_B=3014{,}20 m) é
3014{,}20 - 2763{,}10 = 251{,}10\text{ m}.

Passo 7

Para a estaca 27+00 ( x=2700 m), as cotas são:
Terreno:
Z_{\text{ter}}(2700) =102{,}32 + \frac{2{,}95}{502{,}20}(2700-2512) =102{,}32 + \frac{2{,}95\cdot188}{502{,}20}\approx103{,}42\text{ m}.
Rampa:
Z_{\text{ram}}(2700) =104{,}42 + \frac{-1{,}25}{502{,}20}(2700-2512) =104{,}42 - \frac{1{,}25\cdot188}{502{,}20}\approx103{,}95\text{ m}.

Resposta

a) I\approx -0{,}249\% (declive de 1{,}25 m em 502{,}20 m, descendo).
b) Ponto de passagem em x=2763{,}10 m ( 27+63{,}10), cota Z\approx103{,}80 m, a 251{,}10 m da estaca 30+14{,}20.
c) Em 27+00:
– Cota do terreno Z_{\text{ter}}\approx103{,}42 m.
– Cota da rampa Z_{\text{ram}}\approx103{,}95 m.

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