Um perfil de velocidade adequado para descrever o escoamento turbulento em tubos é
V=ue(R-rR)^1 / n i
onde uc é a velocidade na linha de centro do tubo, r é a coordenada radial, R é o raio do tubo e î é o versor alinhado com a linha de centro do tubo. Determine a razão entre a velocidade média, baru, e a velocidade no centro, u f , para
n=6

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um perfil de velocidade turbulenta num tubo que é dado por
V(r)=ufl(R - rRr)^1/n,i
onde
  • uf é a velocidade no centro (no eixo) do tubo,
  • R é o raio do tubo,
  • r é a distância radial medida a partir do centro,
  • n é um expoente que, no nosso caso, vale n=6.
O que a questão pede é a razão entre a velocidade média baru (média sobre a seção) e a velocidade no centro uf.
Para resolver isso vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos (definição de velocidade média) e de cálculo integral em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Definindo a velocidade média numa seção circular:
baru ;=;1Área;integralseção u,dA Áçã
A seção é um círculo de raio R, então a área é A=pi R^2 e o elemento de área em coordenadas cilíndricas é
dA = 2pi,r,dr
Logo
baru =1pi R^2integral0^R l[ufl(tfracR - rRr)^1/nr];2pi,r,dr
Podemos tirar uf e 2pi fora da integral:
baru =2pi,ufpi R^2integral0^R rl(tfracR - rRr)^1/ndr =2,ufR^2integral0^R rl(1-tfracrRr)^1/ndr

Passo 3

Para simplificar a integral, fazemos a troca de variável
x = rR,,dr = R,dx,
e quando r vai de 0 a R, x vai de 0 a 1. A integral vira:
baru =2,ufR^2integral0^Rrl(1-tfracrRr)^1/ndr =2,ufR^2,l[R^2integral0^1 x,(1-x)^1/ndxr] =2,ufintegral0^1 x,(1-x)^1/ndx

Passo 4

Agora precisamos calcular
I = integral0^1 x,(1-x)^1/ndx
Existe uma relação geral (função Beta) que diz
integral0^1 x^a-1(1-x)^b-1dx = B(a,b) = Gamma(a),Gamma(b)Gamma(a+b)
No nosso caso, a-1=1implies a=2 e b-1=1/nimplies b=1+tfrac1n.
Mas também dá pra usar diretamente a fórmula
integral0^1 x,(1-x)^mdx = 1(m+1)(m+2)com m=tfrac1n
Então
I = 1l(tfrac1n+1r)l(tfrac1n+2r) =1l(1+tfrac1nr)l(2+tfrac1nr)
Logo
baru =2,uf;1l(1+tfrac1nr)l(2+tfrac1nr) =;uf,2l(1+tfrac1nr)l(2+tfrac1nr)

Passo 5

Substituindo n=6:
1+tfrac1n = 1 + tfrac16 = tfrac76, 2+tfrac1n = 2 + tfrac16 = tfrac136
Então
baruuf =2l(tfrac76r)l(tfrac136r) =2tfrac9136 =2cdot3691 =7291 approx 0,7912

Resposta

boxedbaruuf = 7291 approx 0,79

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