Um perfil de velocidade adequado para descrever o escoamento turbulento em tubos é
onde
é a velocidade na linha de centro do tubo,
é a coordenada radial,
é o raio do tubo e î é o versor alinhado com a linha de centro do tubo. Determine a razão entre a velocidade média,
a velocidade no centro,
, para
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um perfil de velocidade turbulenta num tubo que é dado por
onde
-
é a velocidade no centro (no eixo) do tubo, -
é o raio do tubo, -
é a distância radial medida a partir do centro, -
é um expoente que, no nosso caso, vale .
O que a questão pede é a razão entre a velocidade média
(média sobre a seção) e a velocidade no centro
.
Para resolver isso vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos (definição de velocidade média) e de cálculo integral em coordenadas cilíndricas.
Para resolver isso vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos (definição de velocidade média) e de cálculo integral em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Definindo a velocidade média numa seção circular:
A seção é um círculo de raio
, então a área é
e o elemento de área em coordenadas cilíndricas é
Logo
Podemos tirar
e
fora da integral:
Passo 3
Para simplificar a integral, fazemos a troca de variável
e quando
vai de
a
,
vai de
a
. A integral vira:
Passo 4
Agora precisamos calcular
Existe uma relação geral (função Beta) que diz
No nosso caso,
e
.
Mas também dá pra usar diretamente a fórmula
Mas também dá pra usar diretamente a fórmula
Então
Logo
Passo 5
Substituindo
:
Então