Um perfil de velocidade adequado para descrever o escoamento turbulento em tubos é
V=ue(R-rR)^1 / n i
onde uc é a velocidade na linha de centro do tubo, r é a coordenada radial, R é o raio do tubo e î é o versor alinhado com a linha de centro do tubo. Determine a razão entre a velocidade média, baru, e a velocidade no centro, u f , para
n=8 e

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um perfil de velocidade pro escoamento turbulento em tubo:
u(r) = ucl(R - rRr)^1/n,
onde é a velocidade no centro, é a coordenada radial e o raio. A matéria envolvida é cálculo de velocidade média em escoamento (integrais em coordenada cilíndrica) e uso de integrais tipo Beta. A gente vai precisar montar a integral da velocidade média e usar substituição pra resolver.

Passo 2

Definindo a velocidade média bar u = 1pi R^2 integral0^R u(r),2pi r,dr num tubo de raio bar u = 2R^2integral0^R ucl(tfracR-rRr)^1/nr,dr , a fórmula é
Substituindo :

Passo 3

Vamos fazer a mudança de variável bar u = 2ucintegral0^1 x,(1 - x)^1/n,dx , daí bar u = 2uc cdot 1l(tfrac1n +1r)l(tfrac1n +2r) = uc ,2n^2(n+1)(2n+1) e bar uuc = 2n^2(n+1)(2n+1) . A integral vira
Temos a integral padrão
,
aqui com . Então
Logo a razão geral é

Passo 4

Agora basta pôr bar uuc = 2cdot8^2(8+1)(2cdot8+1) = 1289cdot17 = 128153 approx 0,8366 :

Resposta

bar uuc = 128153 approx 0,837

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