o perfil de velocidade para escoamento de ar completamente desenvolvido entre placas paralelas, com a placa superior em movimento, é dado pela seguinte equação u=U ya+ a^22 mu(partial Ppartial x)[(ya)^2-(ya)]. Considere U=2 m / s e a=2,5 mm. Determine o gradiente de pressão para o qual não há vazão resultante na direção x. Trace um gráfico das distribuições esperadas de velocidade e de tensão de cisalhamento em uma seção do canal para este escoamento. Para o caso em que u=2 U e y / a=0,5, trace as distribuições esperadas de velocidade e de tensão de cisalhamento no canal. Comente sobre as características dos gráficos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o perfil de velocidade de um escoamento de ar totalmente desenvolvido entre duas placas paralelas, onde a placa de cima está se movendo com uma velocidade $ U $. A equação que descreve esse perfil é:
U
Aqui, $ U $ é a velocidade da placa superior, $ a $ é a distância entre as placas, $ \mu $ é a viscosidade dinâmica do ar, e $ \frac{\partial P}{\partial x} $ é o gradiente de pressão na direção $ x $. Vamos precisar desses valores para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, queremos determinar o gradiente de pressão ($ \frac{\partial P}{\partial x} $) para o qual não há vazão resultante na direção $ x $. Isso significa que a quantidade de ar que se move para a direita deve ser igual à quantidade que se move para a esquerda, resultando em fluxo líquido zero.
Para que não haja vazão líquida, a contribuição da velocidade induzida pelo gradiente de pressão deve cancelar a contribuição da movimentação da placa superior. Matematicamente, isso implica que a média da velocidade no perfil seja zero.

Passo 3

Vamos calcular a média da velocidade $ \overline{u} $ entre as placas:
u
Substituindo a equação do perfil de velocidade:
u = 1a integral0^a u , dy
Para que $ \overline{u} = 0 $, vamos resolver essa integral.

Passo 4

Resolvendo a integral:
u = Ua^2 integral0^a y , dy + a^22 mu a partial Ppartial x integral0^a ( y^2a^2 - ya ) dy
Integrando termo a termo:
Ua^2 [ y^22 ]0^a = Ua^2 cdot a^22 = U2
E para o segundo termo:
a^22 mu a partial Ppartial x [ y^33 a^2 - y^22 a ]0^a = a2 mu partial Ppartial x ( a3 - a2 ) = a2 mu partial Ppartial x ( -a6 ) = -a^212 mu partial Ppartial x
Então, temos:
U2 - a^212 mu partial Ppartial x = 0

Passo 5

Isolando $ \frac{\partial P}{\partial x} $:
partial Ppartial x
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{12 \mu}{a^2} $:
U2 = a^212 mu partial Ppartial x

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
  • $ U = 2 , m/s $
  • $ a = 2,5 , mm = 0,0025 , m $
  • $ \mu $ (viscosidade dinâmica do ar) ≈ $ 1,81 \times 10^{-5} , Pa \cdot s $ (valor aproximado para o ar à temperatura ambiente)
Substituindo na equação:
U = 2 , m/s
Calculando o denominador:
a = 2,5 , mm = 0,0025 , m
Calculando o numerador:
mu
Então:
1,81 times 10^-5 , Pa cdot s

Passo 7

Portanto, o gradiente de pressão necessário para que não haja vazão líquida na direção $ x $ é aproximadamente $ 34,75 , Pa/m $.

Resposta

O gradiente de pressão necessário para que não haja vazão resultante na direção $ x $ é aproximadamente $ 34,75 , Pa/m $.

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