o perfil de velocidade para escoamento de ar completamente desenvolvido entre placas paralelas, com a placa superior em movimento, é dado pela seguinte equação
. Considere
e
. Determine o gradiente de pressão para o qual não há vazão resultante na direção
. Trace um gráfico das distribuições esperadas de velocidade e de tensão de cisalhamento em uma seção do canal para este escoamento. Para o caso em que
e
, trace as distribuições esperadas de velocidade e de tensão de cisalhamento no canal. Comente sobre as características dos gráficos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o perfil de velocidade de um escoamento de ar totalmente desenvolvido entre duas placas paralelas, onde a placa de cima está se movendo com uma velocidade $ U $. A equação que descreve esse perfil é:
Aqui, $ U $ é a velocidade da placa superior, $ a $ é a distância entre as placas, $ \mu $ é a viscosidade dinâmica do ar, e $ \frac{\partial P}{\partial x} $ é o gradiente de pressão na direção $ x $. Vamos precisar desses valores para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, queremos determinar o gradiente de pressão ($ \frac{\partial P}{\partial x} $) para o qual não há vazão resultante na direção $ x $. Isso significa que a quantidade de ar que se move para a direita deve ser igual à quantidade que se move para a esquerda, resultando em fluxo líquido zero.
Para que não haja vazão líquida, a contribuição da velocidade induzida pelo gradiente de pressão deve cancelar a contribuição da movimentação da placa superior. Matematicamente, isso implica que a média da velocidade no perfil seja zero.
Passo 3
Vamos calcular a média da velocidade $ \overline{u} $ entre as placas:
Substituindo a equação do perfil de velocidade:
Para que $ \overline{u} = 0 $, vamos resolver essa integral.
Passo 4
Resolvendo a integral:
Integrando termo a termo:
E para o segundo termo:
Então, temos:
Passo 5
Isolando $ \frac{\partial P}{\partial x} $:
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{12 \mu}{a^2} $:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
- $ U = 2 , m/s $
- $ a = 2,5 , mm = 0,0025 , m $
- $ \mu $ (viscosidade dinâmica do ar) ≈ $ 1,81 \times 10^{-5} , Pa \cdot s $ (valor aproximado para o ar à temperatura ambiente)
Substituindo na equação:
Calculando o denominador:
Calculando o numerador:
Então:
Passo 7
Portanto, o gradiente de pressão necessário para que não haja vazão líquida na direção $ x $ é aproximadamente $ 34,75 , Pa/m $.
Resposta
O gradiente de pressão necessário para que não haja vazão resultante na direção $ x $ é aproximadamente $ 34,75 , Pa/m $.