Utilizando as hipóteses e o procedimento utilizados para um V.C. em coordenadas cartesianas, parta de um V.C. em coordenadas cilíndricas e demonstre que neste caso a equação da continuidade é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa partir de uma equação de continuidade em coordenadas cilíndricas e demonstrar que ela se escreve como:
partial rhopartial t + nabla cdot (rho v) = 0
Aqui, estamos lidando com a matéria de dinâmica dos fluidos, especificamente com as equações de conservação. Para resolver isso, vamos precisar entender como a equação da continuidade funciona tanto em coordenadas cartesianas quanto cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da continuidade. Ela basicamente diz que a massa de um fluido é conservada ao longo do tempo. Em coordenadas cartesianas, a equação fica assim:
partial rhopartial t + partial (rho u)partial x + partial (rho v)partial y + partial (rho w)partial z = 0
Onde:
rho é a densidade do fluido
u, v, w são as componentes da velocidade nas direções x, y, z
Passo 3
Agora, como mudar isso para coordenadas cilíndricas? Em coordenadas cilíndricas, a posição é descrita por (r, theta, z), e a velocidade tem componentes (vr, vtheta, vz). A equação da continuidade também muda de forma para se adaptar a essas coordenadas.
Passo 4
A gente precisa usar o operador divergente em coordenadas cilíndricas. Em geral, o divergente de um vetor A = (Ar, Atheta, Az) em coordenadas cilíndricas é dado por:
nabla cdot A = 1rpartial (r Ar)partial r + 1rpartial Athetapartial theta + partial Azpartial z
Essa fórmula leva em conta como as componentes do vetor mudam nas diferentes direções cilíndricas.
Passo 5
Aplicando isso à equação da continuidade, onde o vetor é rho v = (rho vr, rho vtheta, rho vz), temos:
nabla cdot (rho v) = 1rpartial (r rho vr)partial r + 1rpartial (rho vtheta)partial theta + partial (rho vz)partial z
Então, a equação da continuidade em coordenadas cilíndricas fica:
partial rhopartial t + 1rpartial (r rho vr)partial r + 1rpartial (rho vtheta)partial theta + partial (rho vz)partial z = 0
Passo 6
Mas a questão pede para mostrar que a equação da continuidade pode ser escrita de forma mais compacta como:
partial rhopartial t + nabla cdot (rho v) = 0
E olha só, é exatamente isso que a gente acabou de derivar! A expressão detalhada com as componentes específicas pode ser resumida usando o operador divergente em coordenadas cilíndricas.
Resposta
Assim, demonstramos que a equação da continuidade em coordenadas cilíndricas é: