É necessário bombear água à uma dada vazão de
, a partir de uma bomba, cuja pressão de saída manométrica é igual a
. O escoamento é descarregado à pressão atmosférica, a uma distância total de
. Se os diâmetros internos das tubulações são, respectivamente,
e
, quais devem ser os valores dos comprimentos
e
se os tubos são de ferro fundido? Pode-se utilizar
. Dica: Desconsidere as perdas menores.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos descobrir os comprimentos $ L $ e $ l $ de dois tubos de ferro fundido com diâmetros internos diferentes ($ D = 26,6 , mm $ e $ d = 15,8 , mm $) usados para bombear água. A vazão é $ Q = 2 \times 10^{-3} , m^3/s $ e a pressão de saída da bomba é $ P_r = 305 , kPa $. A água é descarregada na pressão atmosférica a uma distância total de $ 20 , m $. Vamos precisar aplicar conceitos de mecânica dos fluidos, como a equação de Bernoulli e a equação de continuidade, para relacionar pressão, vazão e perdas de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos converter os diâmetros dos tubos de milímetros para metros para facilitar os cálculos:
Passo 3
A vazão $ Q $ é a mesma nos dois tubos, então podemos usar a equação de continuidade, que nos diz que:
Onde $ A $ é a área da seção transversal e $ v $ é a velocidade do fluido. Vamos calcular as áreas dos dois tubos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as velocidades $ v_1 $ e $ v_2 $ nos dois tubos usando a equação de continuidade:
Passo 5
Vamos aplicar a equação de Bernoulli entre a bomba e o ponto de descarga. A equação de Bernoulli é:
Como a água é descarregada à pressão atmosférica, $ P_{atm} $ é igual a zero no contexto da pressão manométrica. Além disso, $ L + l = 20 , m $.
Passo 6
Simplificando a equação de Bernoulli:
Calculando os termos:
Passo 7
Vamos reescrever a equação resultante:
Isolando as variáveis:
Passo 8
Sabemos que a soma dos comprimentos é 20 m:
Agora temos um sistema de duas equações:
Passo 9
Vamos resolver o sistema. Somando as duas equações:
Agora, substituímos $ l $ na segunda equação:
Isso não faz sentido físico, indicando que houve um erro na abordagem.
Passo 10
Reavaliando o passo 5, percebemos que a pressão atmosférica não é zero na equação de Bernoulli. Na verdade, $ P_{atm} $ se cancela quando consideramos a pressão absoluta na bomba e na descarga. Portanto, devemos reconsiderar a aplicação da equação.
Passo 11
Vamos considerar que toda a pressão manométrica da bomba é usada para vencer as perdas de carga nos tubos:
Substituindo os valores:
Ainda não bate, indicando que precisamos considerar as perdas de carga de forma mais detalhada, possivelmente usando a equação de Darcy-Weisbach.
Passo 12
Aplicando a equação de Darcy-Weisbach para calcular as perdas de carga:
Onde $ f $ é o fator de atrito, $ L $ é o comprimento, $ D $ é o diâmetro e $ v $ é a velocidade.
Assumindo que os tubos são de ferro fundido, podemos usar uma estimativa para $ f $, digamos $ f = 0,02 $.
Passo 13
Calculando as perdas de carga para cada tubo:
Para o tubo de diâmetro $ D = 0,0266 , m $:
Para o tubo de diâmetro $ d = 0,0158 , m $:
Passo 14
A pressão manométrica da bomba deve superar as perdas de carga:
Juntamente com $ L + l = 20 $, temos o sistema:
Passo 15
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, $ L = 20 - l $. Substituindo na primeira:
Então:
Resposta
Os comprimentos dos tubos devem ser aproximadamente $ L = 16,15 , m $ e $ l = 3,85 , m $.