É necessário bombear água à uma dada vazão de Q = 2 times 10^-3 [m^3/s], a partir de uma bomba, cuja pressão de saída manométrica é igual a Pr = 305 [kPa]. O escoamento é descarregado à pressão atmosférica, a uma distância total de 20 [m]. Se os diâmetros internos das tubulações são, respectivamente, D = 26,6 [mm] e d = 15,8 [mm], quais devem ser os valores dos comprimentos L e l se os tubos são de ferro fundido? Pode-se utilizar rho = 1000 [kg/m^3]. Dica: Desconsidere as perdas menores.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos descobrir os comprimentos $ L $ e $ l $ de dois tubos de ferro fundido com diâmetros internos diferentes ($ D = 26,6 , mm $ e $ d = 15,8 , mm $) usados para bombear água. A vazão é $ Q = 2 \times 10^{-3} , m^3/s $ e a pressão de saída da bomba é $ P_r = 305 , kPa $. A água é descarregada na pressão atmosférica a uma distância total de $ 20 , m $. Vamos precisar aplicar conceitos de mecânica dos fluidos, como a equação de Bernoulli e a equação de continuidade, para relacionar pressão, vazão e perdas de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os diâmetros dos tubos de milímetros para metros para facilitar os cálculos:
D = 26,6 , mm = 0,0266 , m
d = 15,8 , mm = 0,0158 , m

Passo 3

A vazão $ Q $ é a mesma nos dois tubos, então podemos usar a equação de continuidade, que nos diz que:
Q
Onde $ A $ é a área da seção transversal e $ v $ é a velocidade do fluido. Vamos calcular as áreas dos dois tubos:
Q = A1 v1 = A2 v2
A

Passo 4

Agora, vamos encontrar as velocidades $ v_1 $ e $ v_2 $ nos dois tubos usando a equação de continuidade:
v1
v2

Passo 5

Vamos aplicar a equação de Bernoulli entre a bomba e o ponto de descarga. A equação de Bernoulli é:
Pr + 12 rho v1^2 + rho g L = Patm + 12 rho v2^2 + rho g l
Como a água é descarregada à pressão atmosférica, $ P_{atm} $ é igual a zero no contexto da pressão manométrica. Além disso, $ L + l = 20 , m $.

Passo 6

Simplificando a equação de Bernoulli:
305 times 10^3 + 12 times 1000 times (3,60)^2 + 1000 times 9,81 times L = 0 + 12 times 1000 times (10,20)^2 + 1000 times 9,81 times l
Calculando os termos:
305 times 10^3 + 12 times 1000 times 12,96 + 9810 L = 12 times 1000 times 104,04 + 9810 l
305000 + 6480 + 9810 L = 52020 + 9810 l

Passo 7

Vamos reescrever a equação resultante:
311480 + 9810 L = 52020 + 9810 l
Isolando as variáveis:
311480 - 52020 = 9810 l - 9810 L
259460 = 9810 (l - L)
l - L = 2594609810 approx 26,47 , m

Passo 8

Sabemos que a soma dos comprimentos é 20 m:
L + l = 20 , m
Agora temos um sistema de duas equações:
l - L = 26,47 L + l = 20

Passo 9

Vamos resolver o sistema. Somando as duas equações:
(l - L) + (L + l) = 26,47 + 20
2l = 46,47
l = 46,472 approx 23,24 , m
Agora, substituímos $ l $ na segunda equação:
l
L + 23,24 = 20
Isso não faz sentido físico, indicando que houve um erro na abordagem.

Passo 10

Reavaliando o passo 5, percebemos que a pressão atmosférica não é zero na equação de Bernoulli. Na verdade, $ P_{atm} $ se cancela quando consideramos a pressão absoluta na bomba e na descarga. Portanto, devemos reconsiderar a aplicação da equação.

Passo 11

Vamos considerar que toda a pressão manométrica da bomba é usada para vencer as perdas de carga nos tubos:
Pr = rho g (L + l) + 12 rho (v2^2 - v1^2)
Substituindo os valores:
305 times 10^3 = 1000 times 9,81 times 20 + 12 times 1000 times (104,04 - 12,96)
305000 = 196200 + 12 times 1000 times 91,08
305000 = 196200 + 45540
305000 = 241740
Ainda não bate, indicando que precisamos considerar as perdas de carga de forma mais detalhada, possivelmente usando a equação de Darcy-Weisbach.

Passo 12

Aplicando a equação de Darcy-Weisbach para calcular as perdas de carga:
De
Onde $ f $ é o fator de atrito, $ L $ é o comprimento, $ D $ é o diâmetro e $ v $ é a velocidade.
Assumindo que os tubos são de ferro fundido, podemos usar uma estimativa para $ f $, digamos $ f = 0,02 $.

Passo 13

Calculando as perdas de carga para cada tubo:
Para o tubo de diâmetro $ D = 0,0266 , m $:
D = 0,0266 , m
Para o tubo de diâmetro $ d = 0,0158 , m $:
De

Passo 14

A pressão manométrica da bomba deve superar as perdas de carga:
Pr = rho g (De
305000 = 1000 times 9,81 times (0,332 L + 6,69 l)
305000 = 9810 (0,332 L + 6,69 l)
3050009810 approx 31,12 = 0,332 L + 6,69 l
Juntamente com $ L + l = 20 $, temos o sistema:
L + l = 20

Passo 15

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, $ L = 20 - l $. Substituindo na primeira:
L = 20 - l
0,332 (20 - l) + 6,69 l = 31,12
6,64 - 0,332 l + 6,69 l = 31,12
6,64 + 6,358 l = 31,12
6,358 l = 31,12 - 6,64
6,358 l = 24,48
Então:
l = 24,486,358 approx 3,85 , m

Resposta

Os comprimentos dos tubos devem ser aproximadamente $ L = 16,15 , m $ e $ l = 3,85 , m $.

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