O perfil de velocidade no escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular de raio interno R=2 cm, em m / s, é dado por u(r)=4(1-r^2 / R^2). Determine as velocidades média e máxima do tubo e a vazão volumétrica.

Passo 1

Então, o exercício diz que dentro de um tubo circular de raio interno u(r) ;=; 4l(1 - r^2R^2r)[m/s] o perfil de velocidade é
urm m=1AintegralA u,dA,
A gente precisa encontrar:
  1. A velocidade máxima .
  2. A velocidade média .
  3. A vazão volumétrica .
O que vamos usar?
  • Para : basta ver onde é maior.
  • Para : a definição de velocidade média numa seção é
e em coordenadas cilíndricas .
  • Para : ou usamos ou integramos direto .

Passo 2

Velocidade máxima: como o perfil é parabólico, o pico fica no centro, umax=u(0)=4l(1-0r)=4;m/s . Então

Passo 3

Agora a velocidade média:
urm m =1pi R^2integralAu,dA =1pi R^2integral0^R4l(1-r^2R^2r),2pi r,dr
Puxando constantes para fora:
urm m =8pipi R^2integral0^Rl(r - r^3R^2r)dr =8R^2l[r^22-r^44R^2r]0^R
Calculando o colchete em R^22-R^44R^2 =R^22-R^24 =R^24 :
urm m =8R^2cdotR^24 =2;m/s
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Passo 4

Para a vazão Q = urm m,A =2;l(pi R^2r) =2pi,(0,02)^2 =2pitimes0,0004 =0,0008pi;m^3/s approx2,51times10^-3;m^3/s a gente pode usar

Resposta

Velocidade máxima:
Velocidade média:
Vazão volumétrica:

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