Se o perfil de velocidade para um fluido bastante viscoso enquanto escoa por canal retangular de largura
(perpendicular ao plano do papel) e altura
é aproximado como
. onde
metros, determine:
A velocidade média na seção,
; (valor: 1,0 )
A velocidade média na seção,
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos um fluido bem viscoso escoando por um canal retangular que tem uma largura de 0,50 metros e uma altura de 0,35 metros. O perfil de velocidade do fluido é dado por $ u = 6y^2 $ metros por segundo, onde $ y $ é a posição vertical em metros. Nosso objetivo é encontrar a velocidade média na seção do canal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade média. A velocidade média ($ \overline{u} $) em uma seção é calculada integrando o perfil de velocidade sobre a área da seção e dividindo pelo espaço dessa área.
Passo 3
Como o canal é retangular, a área da seção é a largura multiplicada pela altura. Mas como a velocidade varia com $ y $, precisamos integrar a função de velocidade $ u(y) $ em relação a $ y $ de 0 a 0,35 metros.
Passo 4
A fórmula para a velocidade média fica:
onde $ h = 0,35 $ m é a altura do canal.
Passo 5
Substituindo a expressão de $ u(y) $:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Avaliado de 0 a 0,35:
Passo 7
Agora, calculamos a velocidade média:
No entanto, a resposta fornecida na questão é 1,0 m/s. Pode haver um erro na interpretação da função de velocidade ou nas unidades. Certifique-se de verificar os dados fornecidos.
Resposta
A velocidade média na seção é aproximadamente $ 0,245 , m/s $.