Pergunta 12 0,5 pts
Determine a solução do PVI y^prime prime(t)+4 y^prime(t)+5 y(t)=-10 e^t, sujeito a y(0)=0 e y^prime(0)=0.
y(t)=e^-2 t[cos (t)+3 sen(t)]+e^t
y(t)=e^-2 t[cos (t)+3 sen(t)]-e^t
y(t)=e^2 t[cos (t)+3 sen(t)]-e^t
y(t)=e^-2 t[cos (t)-3 sen(t)]-e^t
Nenhuma das outras alternativas.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI)
y''(t)+4y'(t)+5y(t)=-10e^t
com condições y(0)=0 e y'(0)=0.
O conteúdo usado será: solução da equação homogênea associada, busca de uma solução particular por palpite e aplicação das condições iniciais.

Passo 2

Resolvemos primeiro a parte homogênea
y''+4y'+5y=0
A equação característica é
r^2+4r+5=0,
cuja solução é
r=-2pm i
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t)=e^-2tl(C1cos t + C2sin tr)

Passo 3

Procuramos uma solução particular da forma yp(t)=A,e^t. Então
yp' = A e^t, yp'' = A e^t
Substituindo em y''+4y'+5y=-10e^t
A e^t + 4A e^t + 5A e^t = 10A e^t = -10e^t Longrightarrow 10A = -10 Longrightarrow A=-1
Portanto
yp(t)=-e^t

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(t)=yh(t)+yp(t) = e^-2tl(C1cos t + C2sin tr);-;e^t

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais.
  1. Em t=0:
y(0)=C1 -1 = 0 Longrightarrow C1 = 1
  1. Derivando y(t):
y'(t) = e^-2tl(-2(C1cos t + C2sin t)-C1sin t + C2cos tr);-;e^t
que pode ser reescrito como
y'(t) = e^-2t!l((-2C1+C2)cos t +(-2C2 - C1)sin tr) - e^t
Em t=0:
y'(0)=(-2C1 + C2) -1 = 0 Longrightarrow -2cdot1 + C2 =1 Longrightarrow C2 = 3
Com C1=1 e C2=3 obtemos
y(t) = e^-2tl(cos t + 3sin tr);-;e^t

Resposta

y(t)=e^-2tl(cos t + 3sin tr)-e^t

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