Pergunta 130,5 pts
Determine a solução do PVI y^prime prime(t)+5 y^prime(t)+4 y(t)=30 sen(2 t), sujeito a y(0)=0 e y^prime(0)=0.
y(t)=4 e^-t-e^-4 t-3 sen(2 t)
y(t)=4 e^-t-e^-4 t-3 cos (2 t)
y(t)=4 e^-t-e^-4 t+3 cos (2 t)
Nenhuma das outras alternativas.
y(t)=4 e^-t-e^-4 t+3 sen(2 t)

Passo 1

O PVI é
y''(t) + 5,y'(t) + 4,y(t) = 30sin(2t), y(0)=0,;y'(0)=0
Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante 30sin(2t). Vamos encontrar a solução geral somando a homogênea e uma particular, depois impor as condições iniciais.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea y''+5y'+4y=0 é
r^2 + 5r + 4 = 0,
com raízes r=-1 e r=-4. Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1 e^-t + C2 e^-4t

Passo 3

Procuramos uma solução particular do tipo
yp(t) = Acos(2t) + Bsin(2t)
Então
yp'(t) = -2Asin(2t) + 2Bcos(2t), yp''(t) = -4Acos(2t) -4Bsin(2t)
Substituindo em y''+5y'+4y=30sin(2t)
(-4A!+!10B!+!4A)cos(2t)+(-4B!-!10A!+!4B)sin(2t) =10Bcos(2t)-10Asin(2t)=30sin(2t)

Passo 4

Igualando coeficientes em cos(2t) e sin(2t):
10B=0 Rightarrow B=0, -10A=30 Rightarrow A=-3
Assim
yp(t) = -3cos(2t)

Passo 5

A solução geral do PVI é
y(t) = C1 e^-t + C2 e^-4t -3cos(2t)
Das condições iniciais:
y(0)=C1+C2-3=0, y'(t)=-C1e^-t-4C2e^-4t+6sin(2t) Rightarrow y'(0)=-C1-4C2=0
O sistema
C1 + C2 = 3, C1 + 4C2 = 0
leva a C2=-1 e C1=4.

Passo 6

Substituindo C1=4 e C2=-1 em y(t), obtemos
y(t) = 4e^-t - e^-4t -3cos(2t)

Resposta

y(t) = 4e^-t - e^-4t - 3cos(2t)

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