Nos exercícios a seguir, mostre que a equação diferencial é exata e resolva apli-cando as condições iniciais indicadas…
l(4 y+2 x-5) d xd y=-(6 y+4 x-1) y(-1)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(4y+2x-5),dxdy=-(6y+4x-1)
com condição inicial x(-1)=2.
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos escrever a equação na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy=0,
verificar a exatidão, encontrar a função potencial varphi(x,y) e, por fim, aplicar a condição inicial.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por dy, obtemos
(4y+2x-5),dx + (6y+4x-1),dy = 0
Dessa forma identificamos
M(x,y)=4y+2x-5, N(x,y)=6y+4x-1

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial y(4y+2x-5)=4, partial Npartial x =partialpartial x(6y+4x-1)=4
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Buscamos varphi(x,y) tal que
partialvarphipartial x=M(x,y)=4y+2x-5
Integramos em relação a x:
varphi(x,y) =integral(2x+4y-5),dx =x^2+4xy-5x + h(y),
onde h(y) é função desconhecida de y.

Passo 5

Para determinar h(y), usamos
partialvarphipartial y =4x + h'(y) =N(x,y)=6y+4x-1
Daí
h'(y)=6y-1 Rightarrow h(y)=integral(6y-1),dy =3y^2 - y + C1
Logo a função potencial é
varphi(x,y) =x^2 +4xy -5x +3y^2 -y + C1
A solução implícita geral é
varphi(x,y)=C Longrightarrow x^2 +4xy -5x +3y^2 -y = C

Passo 6

Aplicando a condição inicial x(-1)=2 (ou seja, em y=-1 temos x=2), obtemos
2^2 +4cdot2cdot(-1) -5cdot2 +3cdot(-1)^2 -(-1) = C ;Longrightarrow; 4 -8 -10 +3 +1 = C ;Longrightarrow; C = -10
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
x^2 +4xy -5x +3y^2 -y = -10

Resposta

boxedx^2 +4xy -5x +3y^2 -y +10 = 0

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