Nos exercícios a seguir, mostre que a equação diferencial é exata e resolva apli-cando as condições iniciais indicadas…
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com condição inicial
.
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos escrever a equação na forma
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos escrever a equação na forma
verificar a exatidão, encontrar a função potencial
e, por fim, aplicar a condição inicial.
Passo 2
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Dessa forma identificamos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Buscamos
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é função desconhecida de
.
Passo 5
Para determinar
, usamos
Daí
Logo a função potencial é
A solução implícita geral é
Passo 6
Aplicando a condição inicial
(ou seja, em
temos
), obtemos
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é