Pergunta 41 pts
Calcule a integral dupla abaixo:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{a}^{b} y \operatorname{sen}(x y) d x d y
onde a=1,6 e b=5,4
Dê a resposta com 2 casas decimais (por arredondamento).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{a}^{b} y \operatorname{sen}(x y)\, dx\, dy
com a=1,6 e b=5,4.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A integral está escrita na ordem dx (interna) e depois dy (externa).
  • Os limites de x são x=a até x=b com a=1,6 e b=5,4.
  • Os limites de y são y=0 até y=\tfrac{\pi}{2}.
  • A função integranda é y\operatorname{sen}(xy).
O que precisamos encontrar: o valor numérico da integral dupla (com duas casas decimais por arredondamento).

Passo 2

Vamos começar pela integral interna em x. Note que, ao integrar em x, o y se comporta como constante (porque estamos fixando um y e integrando sobre x). Então consideramos a integral
\int_{a}^{b} y\operatorname{sen}(xy)\,dx.
Fato útil (lembrando fórmula): se y é constante, então y pode sair da integral como fator multiplicativo. Outra técnica muito prática aqui é a substituição u=xy, que simplifica a integral de \operatorname{sen}(xy). Vou mostrar passo a passo.

Passo 3

Aplicando a substituição u=xy:
  • Quando x varia, u=xy. Então du = y\,dx, ou seja dx = \dfrac{du}{y}.
  • Substituindo na integral interna:
\int_{a}^{b} y\operatorname{sen}(xy)\,dx = \int_{x=a}^{x=b} y\operatorname{sen}(u)\cdot\frac{du}{y}.
O fator y multiplica e depois divide, então fica simplesmente
\int_{u=ay}^{u=by} \operatorname{sen}(u)\,du.
Isso é ótimo porque a primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u).

Passo 4

Calcular a integral definida em u:
\int_{ay}^{by} \operatorname{sen}(u)\,du = \bigl[-\cos(u)\bigr]_{u=ay}^{u=by} = -\cos(by) -\bigl(-\cos(ay)\bigr) = \cos(ay)-\cos(by).
Portanto a integral interna avaliada resulta em
\int_{a}^{b} y\operatorname{sen}(xy)\,dx = \cos(ay)-\cos(by).

Passo 5

Agora voltamos à integral externa em y. Substituindo o resultado do passo anterior:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos(ay)-\cos(by)\right)\,dy.
Podemos separar em duas integrais:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(ay)\,dy \;-\; \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(by)\,dy.

Passo 6

Calcule cada uma usando a primitiva de \cos(k y). Lembrete de fórmula: para constante k,
\int \cos(k y)\,dy = \frac{1}{k}\operatorname{sen}(k y)+C,
porque derivando \frac{1}{k}\operatorname{sen}(ky) \cos(ky).
Aplicando aos limites 0 a \tfrac{\pi}{2}:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(ay)\,dy = \left[\frac{1}{a}\operatorname{sen}(ay)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{a}\operatorname{sen}\!\Bigl(a\frac{\pi}{2}\Bigr),
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(by)\,dy = \left[\frac{1}{b}\operatorname{sen}(by)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{b}\operatorname{sen}\!\Bigl(b\frac{\pi}{2}\Bigr).
Logo a integral dupla vale
\frac{1}{a}\operatorname{sen}\!\Bigl(a\frac{\pi}{2}\Bigr) \;-\; \frac{1}{b}\operatorname{sen}\!\Bigl(b\frac{\pi}{2}\Bigr).

Passo 7

Agora substituímos a=1,6 e b=5,4. Em notação TeX:
I = \frac{1}{1,6}\operatorname{sen}\!\Bigl(1,6\frac{\pi}{2}\Bigr) \;-\; \frac{1}{5,4}\operatorname{sen}\!\Bigl(5,4\frac{\pi}{2}\Bigr).
Antes de calcular numericamente, simplificamos os argumentos das funções seno:
  • 1,6\frac{\pi}{2} = 0,8\pi. Em graus isso é 0{,}8\cdot180^\circ=144^\circ. Observação trigonométrica: \operatorname{sen}(144^\circ)=\operatorname{sen}(180^\circ-36^\circ)=\operatorname{sen}(36^\circ). Valor conhecido: \operatorname{sen}(36^\circ)\approx 0,5877852523.
  • 5,4\frac{\pi}{2} = 2,7\pi. Como o seno tem período 2\pi, 2,7\pi = 2\pi + 0,7\pi, então \operatorname{sen}(2,7\pi)=\operatorname{sen}(0,7\pi). Em graus 0{,}7\pi = 126^\circ. \operatorname{sen}(126^\circ)=\operatorname{sen}(180^\circ-54^\circ)=\operatorname{sen}(54^\circ). Valor conhecido: \operatorname{sen}(54^\circ)\approx 0,8090169944.
Agora os coeficientes:
\frac{1}{1,6} = \frac{5}{8} = 0{,}625,\qquad \frac{1}{5,4} = \frac{5}{27}\approx 0{,}1851851852.

Passo 8

Calcule numericamente os termos (mantendo boa precisão antes do arredondamento final):
Primeiro termo:
\frac{1}{1,6}\operatorname{sen}\!\Bigl(0,8\pi\Bigr)\approx 0{,}625\cdot 0{,}5877852522924731 \approx 0{,}3673657826827957.
Segundo termo:
\frac{1}{5,4}\operatorname{sen}\!\Bigl(2,7\pi\Bigr)=\frac{5}{27}\cdot 0{,}8090169943749475 \approx 0{,}1498179619210.
Subtraindo:
I \approx 0{,}3673657826827957 - 0{,}1498179619210 \approx 0{,}2175478207617957.

Passo 9

Arredondando o resultado para duas casas decimais (por arredondamento), obtemos
I \approx 0,22.
Força aí — já era a integral! Se quiser, dá para repetir os mesmos passos com outros a,b para treinar.

Resposta

0,22

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