Pergunta 41 pts
Calcule a integral dupla abaixo:
onde
e
Dê a resposta com 2 casas decimais (por arredondamento).
□
Calcule a integral dupla abaixo:
onde
□
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
com
e
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A integral está escrita na ordem
(interna) e depois (externa). - Os limites de
são até com e . - Os limites de
são até . - A função integranda é
.
O que precisamos encontrar: o valor numérico da integral dupla (com duas casas decimais por arredondamento).
Passo 2
Vamos começar pela integral interna em
. Note que, ao integrar em
, o
se comporta como constante (porque estamos fixando um
e integrando sobre
). Então consideramos a integral
Fato útil (lembrando fórmula): se
é constante, então
pode sair da integral como fator multiplicativo. Outra técnica muito prática aqui é a substituição
, que simplifica a integral de
. Vou mostrar passo a passo.
Passo 3
Aplicando a substituição
:
- Quando
varia, . Então , ou seja . - Substituindo na integral interna:
O fator
multiplica e depois divide, então fica simplesmente
Isso é ótimo porque a primitiva de
é
.
Passo 4
Calcular a integral definida em
:
Portanto a integral interna avaliada resulta em
Passo 5
Agora voltamos à integral externa em
. Substituindo o resultado do passo anterior:
Podemos separar em duas integrais:
Passo 6
Calcule cada uma usando a primitiva de
. Lembrete de fórmula: para constante
,
porque derivando
dá
.
Aplicando aos limites
a
:
Logo a integral dupla vale
Passo 7
Agora substituímos
e
. Em notação TeX:
Antes de calcular numericamente, simplificamos os argumentos das funções seno:
-
. Em graus isso é . Observação trigonométrica: . Valor conhecido: . -
. Como o seno tem período , , então . Em graus . . Valor conhecido: .
Agora os coeficientes:
Passo 8
Calcule numericamente os termos (mantendo boa precisão antes do arredondamento final):
Primeiro termo:
Segundo termo:
Subtraindo:
Passo 9
Arredondando o resultado para duas casas decimais (por arredondamento), obtemos
Força aí — já era a integral! Se quiser, dá para repetir os mesmos passos com outros
para treinar.