Pergunta 4 0,3 pts
Considere a equação diferencial 2 x^2 y^prime prime(x)+3 x y^prime(x)-y(x)=0 e as funções
f(x)=raizx, g(x)=x ln (x) e h(x)=1x

São soluções da equação diferencial

apenas f
Nenhuma das outras alternativas.
apenas h
feg
feh

Passo 1

Beleza, a gente tem a equação diferencial
2x^2y''(x)+3xy'(x)-y(x)=0
e as três funções
f(x)=raizx, g(x)=xln x, h(x)=1x
A matéria aqui é EDO de Euler–Cauchy (coeficientes em potências de x). Pra testar se cada função é solução, a gente vai:
  1. calcular y' e y'';
  2. substituir na equação;
  3. ver se o resultado bate (fica zero).

Passo 2

Testando f(x)=raizx=x^1/2:
  • f'(x)=tfrac12x^-1/2
  • f''(x)=-tfrac14x^-3/2
Substituindo em
2x^2f''+3xf'-f !=!2x^2(-tfrac14x^-3/2) +3x(tfrac12x^-1/2) -;x^1/2
calcula cada termo:
2x^2cdot(-tfrac14x^-3/2)=-tfrac12x^1/2, 3xcdottfrac12x^-1/2=tfrac32x^1/2,
então
-tfrac12x^1/2+tfrac32x^1/2-x^1/2 =(!-½+1,5-1),x^1/2=0 ½
Logo f satisfaz a equação.

Passo 3

Testando g(x)=xln x:
  • Pela regra do produto,
    g'(x)=1cdotln x + xcdottfrac1x=ln x+1.
  • E
    g''(x)=tfrac1x.
Substituindo:
2x^2cdottfrac1x ;+;3x(ln x+1);-;xln x =2x+3xln x+3x -xln x =5x+2xln xneq0
como não dá zero, g não é solução.

Passo 4

Testando h(x)=x^-1:
  • h'(x)=-x^-2
  • h''(x)=2x^-3
Substituindo:
2x^2cdot2x^-3+3xcdot(-x^-2)-x^-1 =4x^-1-3x^-1-x^-1=(4-3-1)x^-1=0
Então h também funciona.

Resposta

feh

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