Pergunta 3
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Uma partícula pontual de carga Q=5 e está fixa na posição x=0.
Um próton é colocado na posição x=4 m e liberado a partir do repouso.
Calcule a velocidade ( em m / s ) que o próton terá ao chegar na posição x=49 m.
Dado: escreva o resultado com duas casas decimais. Ao consultar os dados necessários na internet, use-os com dois algarismos significativos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com carga Q igual a 5 vezes a carga do elétron (5e) fixa na posição x = 0 metros. Um próton, que também tem carga positiva (+e), é colocado na posição x = 4 metros e é liberado do repouso. Nosso objetivo é descobrir quanta velocidade esse próton terá quando chegar na posição x = 49 metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e a conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a força que atua no próton. Como tanto Q quanto o próton têm cargas positivas, elas vão se repelir. A força de repulsão entre elas pode ser calculada usando a Lei de Coulomb:
F = k Q cdot qr^2
Onde:
  • $ k $ é a constante de Coulomb ($ 8,99 \times 10^9 , N·m2/\text{C}2 $),
  • $ Q = 5e $ (com $ e = 1,60 \times 10^{-19} , C $),
  • $ q = e $,
  • $ r $ é a distância entre as cargas.

Passo 3

Como o próton está se movendo devido a essa força, podemos usar a conservação da energia para achar sua velocidade. A energia potencial elétrica no ponto de partida (x = 4 m) mais a energia cinética inicial (que é zero, já que o próton parte do repouso) é igual à energia cinética final mais a energia potencial elétrica no ponto final (x = 49 m).
Ui + Ki = Uf + Kf
Como $ K_i = 0 $, temos:
Ki = 0

Passo 4

A energia potencial elétrica é dada por:
U = k Q cdot qr
Vamos calcular $ U_i $ em $ r_i = 4 , m $ e $ U_f $ em $ r_f = 49 , m $:
Ui
ri = 4 , m
A diferença entre essas energias será igual à energia cinética final:
Uf
Onde $ m $ é a massa do próton ($ 1,67 \times 10^{-27} , kg $) e $ v $ é a velocidade que queremos encontrar.

Passo 5

Vamos organizar tudo para encontrar $ v $:
v
Substituindo os valores:
v = raiz2 (Ui - Uf)m
Ui = 8,99 times 10^9 cdot 5 cdot (1,60 times 10^-19)^24
Uf = 8,99 times 10^9 cdot 5 cdot (1,60 times 10^-19)^249
Após calcular essas expressões, encontramos o valor de $ v $.

Resposta

A velocidade do próton ao chegar em x = 49 m é aproximadamente 2,89 × 10³ m/s.

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