O potencial elétrico em uma certa região do espaço é dado por:
Calcule o módulo do campo elétrico (em N/C) no ponto (
).
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado da questão. Temos o potencial elétrico dado por:
Precisamos calcular o módulo do campo elétrico no ponto
.
Para resolver isso, vamos usar a relação entre o campo elétrico
e o potencial elétrico
, que é:
Isso significa que precisamos calcular o gradiente de
em relação às coordenadas
,
e
, e então encontrar o módulo desse vetor resultante.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais do potencial
em relação a
,
e
.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, derivamos
em relação a
obtendo
,
em relação a
dá
(porque não depende de
), e
em relação a
resulta em
.
Passo 3
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, derivamos
em relação a
obtendo
,
em relação a
dá
, e
em relação a
resulta em
.
Passo 4
Em seguida, a derivada parcial de
em relação a
:
Neste caso, derivamos
em relação a
dando
,
em relação a
dá
, e
em relação a
resulta em
.
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos formar o vetor gradiente de
:
Como o campo elétrico é o negativo do gradiente de
, temos:
Passo 6
Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto dado
nos componentes do campo elétrico.
Identificando as coordenadas:
Calculando cada componente:
Passo 7
Com as componentes do campo elétrico calculadas, podemos determinar o módulo do campo elétrico
usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
O módulo do campo elétrico no ponto dado é aproximadamente 4,34 N/C.