O potencial elétrico em uma certa região do espaço é dado por:
V(x, y, z)=2 x y^2+y z-x z
Calcule o módulo do campo elétrico (em N/C) no ponto ( 0,1 m ; 1,4 m ;-0,2 m ).

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado da questão. Temos o potencial elétrico dado por:
V(x, y, z) = 2xy^2 + yz - xz
Precisamos calcular o módulo do campo elétrico no ponto (0,1, m;, 1,4, m;, -0,2, m).
Para resolver isso, vamos usar a relação entre o campo elétrico E e o potencial elétrico V, que é:
E = -nabla V
Isso significa que precisamos calcular o gradiente de V em relação às coordenadas x, y e z, e então encontrar o módulo desse vetor resultante.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais do potencial V em relação a x, y e z.
Primeiro, a derivada parcial de V em relação a x:
partial Vpartial x = partialpartial x(2xy^2 + yz - xz) = 2y^2 - z
Aqui, derivamos 2xy^2 em relação a x obtendo 2y^2, yz em relação a x 0 (porque não depende de x), e -xz em relação a x resulta em -z.

Passo 3

Agora, a derivada parcial de V em relação a y:
partial Vpartial y = partialpartial y(2xy^2 + yz - xz) = 4xy + z
Aqui, derivamos 2xy^2 em relação a y obtendo 4xy, yz em relação a y z, e -xz em relação a y resulta em 0.

Passo 4

Em seguida, a derivada parcial de V em relação a z:
partial Vpartial z = partialpartial z(2xy^2 + yz - xz) = y - x
Neste caso, derivamos 2xy^2 em relação a z dando 0, yz em relação a z y, e -xz em relação a z resulta em -x.

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos formar o vetor gradiente de V:
nabla V = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y, partial Vpartial z ) = (2y^2 - z, 4xy + z, y - x)
Como o campo elétrico é o negativo do gradiente de V, temos:
E = -nabla V = (-2y^2 + z, -4xy - z, -y + x)

Passo 6

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto dado (0,1, m;, 1,4, m;, -0,2, m) nos componentes do campo elétrico.
Identificando as coordenadas:
  • x = 0,1, m
  • y = 1,4, m
  • z = -0,2, m
Calculando cada componente:
Ex = -2y^2 + z = -2(1,4)^2 + (-0,2) = -2(1,96) -0,2 = -3,92 -0,2 = -4,12, N/C
Ey = -4xy - z = -4(0,1)(1,4) - (-0,2) = -4(0,14) +0,2 = -0,56 +0,2 = -0,36, N/C
Ez = -y + x = -1,4 + 0,1 = -1,3, N/C

Passo 7

Com as componentes do campo elétrico calculadas, podemos determinar o módulo do campo elétrico |E| usando a fórmula:
|E| = raizEx^2 + Ey^2 + Ez^2
Substituindo os valores:
|E| = raiz(-4,12)^2 + (-0,36)^2 + (-1,3)^2 = raiz16,97 + 0,13 + 1,69 = raiz18,79 approx 4,34, N/C

Resposta

O módulo do campo elétrico no ponto dado é aproximadamente 4,34 N/C.

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