Uma piscina contém 30.000 L de água limpa e, devido a um acidente, recebeu 180 kg de um produto químico que se dissolveu completamente na água (solução homogênea).
O sistema de bombeamento e filtragem da piscina é capaz de recircular sua água a uma taxa de 25 L/min e de retirar do produto químico dissolvido contido na água circulante.
Se a piscina é considerada limpa quando a concentração do produto químico se reduzir a , podemos afirmar que
o sistema de bombeamento e filtragem deverá funcionar por aproximadamente 30 horas ininterruptas.
o sistema de bombeamento e filtragem deverá funcionar por aproximadamente 3 dias ininterruptos.
o sistema de bombeamento e filtragem deverá funcionar por aproximadamente 16 horas ininterruptas.
Nenhuma das outras alternativas
o sistema de bombeamento e filtragem deverá funcionar por aproximadamente 2 dias ininterruptos.
Passo 1
Beleza, vamos primeiro resumir o que o enunciado está pedindo e quais conteúdos usamos.
Você tem uma piscina de 30 000 L com 180 kg (ou 180 000 g) de um produto químico totalmente dissolvido. O sistema recircula 25 L/min e, a cada passagem, remove 75 % do químico da água que passa pelo filtro. Queremos saber quanto tempo esse sistema precisa operar para que a concentração na piscina caia a 1 g/L.
Conteúdo principal: modelo de mistura contínua que leva a uma equação diferencial de decaimento exponencial, porque a água volta misturada e o volume da piscina não muda. Precisamos montar e resolver
a equação diferencial de remoção,
calcular a constante de decaimento,
achar o tempo para a concentração chegar a 1 g/L.
Passo 2
Vamos entender a teoria de mistura contínua.
Imagine que a cada instante sai do tanque uma vazão com concentração e, na volta, o filtro retira 75 % do químico desse fluxo. Como o volume da piscina é constante, a massa total de produto obedece
Mas C(t)=A(t)V. Substituindo, a equação fica
dAdt = -l(Qcdot0,75r),A(t)V = -k,A(t),
onde definimos k=dfracQcdot0,75V.
Passo 3
Agora calculamos a constante k.
Temos
Q=25 L/min, V=30,000 L,remoção 0,75çã
Logo
k = 25cdot0,7530,000 = 18,7530,000 = 0,000625 min^-1
Passo 4
A solução da equação dAdt=-kA é a clássica exponencial:
A(t) = A0,e^-k t,
onde A0=180,000 g (a massa inicial).
Queremos a concentração C(t)=A(t)V igual a 1 g/L, ou seja A(t)=Vcdot1 =30,000 g.
Então impomos
180,000,e^-k t = 30,000 Longrightarrow e^-k t = 30,000180,000 = 16
Passo 5
Basta resolver para t:
-k,t = ln16 = -ln6 Longrightarrow t = ln6k
Substituindo k=0,000625 min^-1:
t = ln60,000625approx 1,79180,000625approx 2866,9 min
Convertendo para horas:
2866,9 mindiv 60approx 47,8 h,
que dá cerca de 2 dias ininterruptos.
Resposta
O sistema de bombeamento e filtragem deverá funcionar por aproximadamente 2 dias ininterruptos.