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Uma piscina contém 100.000 L de água limpa e, devido a um acidente, recebeu 75 kg de um produto químico que se dissolveu completamente na água (solução homogênea).
O sistema de bombeamento e filtragem da piscina é capaz de recircular sua água a uma taxa de 120 L/min e de retirar 80 % do produto químico dissolvido contido na água circulante.
Se a piscina é considerada limpa quando a concentração do produto químico se reduzir a 0,3 g/L, podemos afirmar que
o sistema de bombeamento e filtragem deverá funcionar por aproximadamente 16 horas ininterruptas.
o sistema de bombeamento e filtragem deverá funcionar por aproximadamente 2 dias ininterruptos.
o sistema de bombeamento e filtragem deverá funcionar por aproximadamente 3 dias ininterruptos.
Nenhuma das outras alternativas
o sistema de bombeamento e filtragem deverá funcionar por aproximadamente 30 horas ininterruptas.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos saber quanto tempo o sistema de filtração (recirculação de 120 L/min com remoção de 80 % do químico) precisa funcionar para reduzir a concentração de um produto de 75 kg (75 000 g) em 100 000 L de água até 0,3 g/L. O conteúdo usado aqui é o modelo de decaimento exponencial de quantidade de soluto.

Passo 2

Modelando por equação diferencial: a quantidade de químico Q(t) satisfaz
dQdt = -(fração removida) times (vazão) times QV çãã
Como o sistema remove 80 % na vazão de 120 L/min e o volume V=100 000 L, temos
dQdt = -0.8 cdot 120100000,Q = -0.00096,Q

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial: a solução é
Q(t)=Q0,e^-0.00096,t,
onde Q_0=75 000 g. Para atingir concentração de 0,3 g/L, precisamos de Q(t)=0.3\times100000=30000 g. Então
75,000,e^-0.00096,t=30,000
e^-0.00096,t=0.4
t= -ln(0.4)0.00096 approx 954.5 min

Passo 4

Convertendo o tempo: 954.5 min ÷ 60 ≈ 15.91 h, ou seja, cerca de 16 horas ininterruptas para que a concentração atinja 0,3 g/L.

Resposta

O sistema de bombeamento e filtragem deverá funcionar por aproximadamente 16 horas ininterruptas.

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