PERGUNTA 1
Sabendc que o campo vetorial dedo pela funçãc
é conservetivo, determine a função potencial.
b.
c.
d.
e.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial dado por $ F(x, y) = 2xy^{3} \vec{i} + \left(1 + 3x{2}y{2}\right) \vec{j} $ e sabe que ele é conservativo. Nosso objetivo aqui é encontrar a função potencial $ f(x, y) $ desse campo. Para isso, vamos usar o conceito de campos conservativos e a relação entre os componentes do campo vetorial e as derivadas parciais da função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial $ F(x, y) = P(x, y) \vec{i} + Q(x, y) \vec{j} $ é conservativo se existem funções $ f(x, y) $ tal que:
Ou seja, as componentes do campo vetorial são as derivadas parciais da função potencial em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso campo vetorial. Aqui, temos:
Primeiro, vamos integrar $ P(x, y) $ em relação a $ x $ para encontrar $ f(x, y) $:
Onde $ g(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $ e surge da constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos derivar $ f(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ Q(x, y) $:
Igualando a $ Q(x, y) $:
Passo 5
Simplificando a equação acima, temos:
Integrando ambos os lados em relação a $ y $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos $ g(y) $ na expressão de $ f(x, y) $:
Como $ C $ é uma constante arbitrária, podemos escrevê-la como $ k $. Portanto, a função potencial é:
Resposta
A função potencial é $ f(x, y) = x^{2} y^{3} + y + k $.