PERGUNTA 1
Sabendc que o campo vetorial dedo pela funçãc F(x, y)=2 x y^3 i+(1+3 x^2 y^2) j é conservetivo, determine a função potencial.
f(x, y)=x^2 y^3+y+k
b. f(x, y)=2 x y^3+1+3 x^2 y^2+k
c. f(x, y)=y-k
d. f(x, y)=6 x y^2+6 x y+k
e. f(x, y)=x^2 y^3+k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial dado por $ F(x, y) = 2xy^{3} \vec{i} + \left(1 + 3x{2}y{2}\right) \vec{j} $ e sabe que ele é conservativo. Nosso objetivo aqui é encontrar a função potencial $ f(x, y) $ desse campo. Para isso, vamos usar o conceito de campos conservativos e a relação entre os componentes do campo vetorial e as derivadas parciais da função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial $ F(x, y) = P(x, y) \vec{i} + Q(x, y) \vec{j} $ é conservativo se existem funções $ f(x, y) $ tal que:
F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j
Ou seja, as componentes do campo vetorial são as derivadas parciais da função potencial em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso campo vetorial. Aqui, temos:
P(x, y) = 2xy^3 e Q(x, y) = 1 + 3x^2y^2
Primeiro, vamos integrar $ P(x, y) $ em relação a $ x $ para encontrar $ f(x, y) $:
P(x, y)
Onde $ g(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $ e surge da constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos derivar $ f(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ Q(x, y) $:
f(x, y)
Igualando a $ Q(x, y) $:
y

Passo 5

Simplificando a equação acima, temos:
g'(y) = 1
Integrando ambos os lados em relação a $ y $:
y
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos $ g(y) $ na expressão de $ f(x, y) $:
g(y)
Como $ C $ é uma constante arbitrária, podemos escrevê-la como $ k $. Portanto, a função potencial é:
f(x, y)

Resposta

A função potencial é $ f(x, y) = x^{2} y^{3} + y + k $.

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