Problema 3.41. Seja
um número natural não nulo. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um número natural $ n $ (ou seja, $ n $ é 1, 2, 3, …) e precisa calcular o mínimo múltiplo comum (MMC) entre $ n $ e $ 2n + 1 $. Vamos usar conceitos de divisores e múltiplos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o MMC de dois números pode ser calculado usando a fórmula:
Aqui, $ \operatorname{MDC}(a, b) $ é o máximo divisor comum entre $ a $ e $ b $.
Passo 3
Então, no nosso caso, temos $ a = n $ e $ b = 2n + 1 $. Precisamos encontrar o $ \operatorname{MDC}(n, 2n + 1) $.
Passo 4
Para achar o $ \operatorname{MDC}(n, 2n + 1) $, usamos o algoritmo de Euclides. Ele diz que:
Aplicando isso:
Passo 5
Continuando o algoritmo:
Então:
E sabemos que o $ \operatorname{MDC}(n, 1) = 1 $, já que 1 é divisor de qualquer número.
Passo 6
Agora que sabemos que $ \operatorname{MDC}(n, 2n + 1) = 1 $, voltamos à fórmula do MMC:
Resposta
O mínimo múltiplo comum entre $ n $ e $ 2n + 1 $ é $ n \times (2n + 1) $.