Problema 3.41. Seja n um número natural não nulo. Calcule mmc(n, 2 n+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um número natural $ n $ (ou seja, $ n $ é 1, 2, 3, …) e precisa calcular o mínimo múltiplo comum (MMC) entre $ n $ e $ 2n + 1 $. Vamos usar conceitos de divisores e múltiplos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o MMC de dois números pode ser calculado usando a fórmula:
MMC(a, b) = a times bMDC(a, b)
Aqui, $ \operatorname{MDC}(a, b) $ é o máximo divisor comum entre $ a $ e $ b $.

Passo 3

Então, no nosso caso, temos $ a = n $ e $ b = 2n + 1 $. Precisamos encontrar o $ \operatorname{MDC}(n, 2n + 1) $.

Passo 4

Para achar o $ \operatorname{MDC}(n, 2n + 1) $, usamos o algoritmo de Euclides. Ele diz que:
MDC(n, 2n + 1)
Aplicando isso:
MDC(a, b) = MDC(b, a mod b)

Passo 5

Continuando o algoritmo:
2n + 1 mod n = 1
Então:
MDC(2n + 1, n) = MDC(n, 1)
E sabemos que o $ \operatorname{MDC}(n, 1) = 1 $, já que 1 é divisor de qualquer número.

Passo 6

Agora que sabemos que $ \operatorname{MDC}(n, 2n + 1) = 1 $, voltamos à fórmula do MMC:
MDC(n, 2n + 1) = 1

Resposta

O mínimo múltiplo comum entre $ n $ e $ 2n + 1 $ é $ n \times (2n + 1) $.

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