O perímetro de uma bacia hidrográfica é de 70 Km e são conhecidos os seguintes dados:
  • Distribuição de cotas:
Cotas (m) Ponto Médio (m) Área ( \mathrm{km}^{2} ) Área Acumulada ( \mathrm{km}^{2} ) % Acumulada Coluna 2 * Coluna 3
940-920 1,92
920-900 2,90
900-880 3,68
880-860 4,07
860-840 4,60
840-820 2,92
820-800 19,85
800-780 23,75
780-760 30,27
760-740 32,09
740-720 27,86
720-700 15,45
700-680 7,89
TOTAL

HIDROLOGIA APLICADA

Lista de Exercícios \mathbf{n}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{0 1}

Bacias hidrográficas.

Prof. Frederico de Souza Aleixo, Me.
  • Distribuição de declividade:
Decividade (m/m) Número de Ocorrências % do Total % Acumulada Declividade Média Coluna 2 * Coluna 5
0,0000-0,0049 249
0,0050-0,0099 69
0,0100-0,0149 13
0,0150-0,0199 7
0,0200-0,0249 0
0,0250-0,0299 15
0,0300-0,0349 0
0,0350-0,0399 0
0,0400-0,0449 0
0,0450-0,0499 5
TOTAL
Pede-se:
Qual é o coeficiente de compacidade?

Passo 1

O enunciado pede: calcular o coeficiente de compacidade da bacia hidrográfica.
Dados fornecidos:
  • Perímetro da bacia: 70\\ \mathrm{km}.
  • Distribuição de áreas por faixa de cota (tirei exatamente os valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{l} 1{,}92\\\\ 2{,}90\\\\ 3{,}68\\\\ 4{,}07\\\\ 4{,}60\\\\ 2{,}92\\\\ 19{,}85\\\\ 23{,}75\\\\ 30{,}27\\\\ 32{,}09\\\\ 27{,}86\\\\ 15{,}45\\\\ 7{,}89 \end{array}
Esses valores estão em \mathrm{km}^{2}. A primeira ação prática é somar todas essas áreas para obter a área total da bacia, pois o coeficiente de compacidade depende do perímetro e da área total.

Passo 2

Somando as áreas da tabela para obter a área total \,A. Vou somar passo a passo (cada soma escrita em matemática para ficar claro):
\begin{aligned} S_1 &= 1{,}92 + 2{,}90 = 4{,}82,\\\ S_2 &= S_1 + 3{,}68 = 4{,}82 + 3{,}68 = 8{,}50,\\\ S_3 &= S_2 + 4{,}07 = 8{,}50 + 4{,}07 = 12{,}57,\\\ S_4 &= S_3 + 4{,}60 = 12{,}57 + 4{,}60 = 17{,}17,\\\ S_5 &= S_4 + 2{,}92 = 17{,}17 + 2{,}92 = 20{,}09,\\\ S_6 &= S_5 + 19{,}85 = 20{,}09 + 19{,}85 = 39{,}94,\\\ S_7 &= S_6 + 23{,}75 = 39{,}94 + 23{,}75 = 63{,}69,\\\ S_8 &= S_7 + 30{,}27 = 63{,}69 + 30{,}27 = 93{,}96,\\\ S_9 &= S_8 + 32{,}09 = 93{,}96 + 32{,}09 = 126{,}05,\\\ S_{10} &= S_9 + 27{,}86 = 126{,}05 + 27{,}86 = 153{,}91,\\\ S_{11} &= S_{10} + 15{,}45 = 153{,}91 + 15{,}45 = 169{,}36,\\\ S_{12} &= S_{11} + 7{,}89 = 169{,}36 + 7{,}89 = 177{,}25. \end{aligned}
Portanto a área total da bacia é
A = 177{,}25\\ \mathrm{km}^{2}.

Passo 3

Explicando o que é o coeficiente de compacidade e qual fórmula usar (passo didático):
  • Intuição rápida: quanto mais próxima de um círculo for a bacia, mais “compacta” ela é; o círculo é a forma que, para uma dada área, tem o menor perímetro.
  • Definição usada frequentemente: o coeficiente de compacidade K_c compara o perímetro real da bacia com o perímetro de um círculo de mesma área. Assim
K_c=\frac{P}{P_{\text{círculo\_equivalente}}},í
onde P é o perímetro da bacia. Para um círculo de área A, o raio R satisfaz A=\pi R^{2} e o perímetro do círculo é P_{\text{círculo}} = 2\pi Rí. Substituindo R=\sqrt{A/\pi} obtemos
P_{\text{círculo}} = 2\pi\sqrt{\frac{A}{\pi}} = 2\sqrt{\pi A}.í
Logo a fórmula prática que vamos usar é
\boxed{K_c = \dfrac{P}{2\sqrt{\pi A}}.}
Observação: K_c é adimensional e vale 1 quando a bacia é geometricamente um círculo perfeito; valores maiores que 1 indicam formas menos compactas.

Passo 4

Agora aplico a fórmula com os valores conhecidos: P=70\\ \mathrm{km} e A=177{,}25\\ \mathrm{km}^{2}.
Calculo intermediário de \pi A:
\pi A \approx \pi \cdot 177{,}25 \approx 556{,}8472978487908.
Agora a raiz:
\sqrt{\pi A} \approx 23{,}5976122365.
Multiplico por 2 para obter o perímetro do círculo equivalente:
2\sqrt{\pi A} \approx 47{,}1952244730.
Finalmente o coeficiente:
K_c = \frac{70}{47{,}1952244730} \approx 1{,}483.

Passo 5

Interpretação curta (didática): K_c\approx 1{,}483 significa que o perímetro da bacia é cerca de 1{,}483 vezes o perímetro do círculo que teria a mesma área. Em termos práticos, a bacia não é muito alongada nem extremamente irregular — está moderadamente afastada da forma circular ideal. Forçar a memória para a prova: quanto mais próximo de 1, mais compacta (circular); valores maiores indicam formas alongadas/irregulares.

Resposta

1{,}483

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