O perímetro de uma bacia hidrográfica é de 70 Km e são conhecidos os seguintes dados:
  • Distribuição de cotas:
Cotas (m) Ponto Médio (m) Área ( \mathrm{km}^{2} ) Área Acumulada ( \mathrm{km}^{2} ) % Acumulada Coluna 2 * Coluna 3
940-920 1,92
920-900 2,90
900-880 3,68
880-860 4,07
860-840 4,60
840-820 2,92
820-800 19,85
800-780 23,75
780-760 30,27
760-740 32,09
740-720 27,86
720-700 15,45
700-680 7,89
TOTAL

HIDROLOGIA APLICADA

Lista de Exercícios \mathbf{n}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{0 1}

Bacias hidrográficas.

Prof. Frederico de Souza Aleixo, Me.
  • Distribuição de declividade:
Decividade (m/m) Número de Ocorrências % do Total % Acumulada Declividade Média Coluna 2 * Coluna 5
0,0000-0,0049 249
0,0050-0,0099 69
0,0100-0,0149 13
0,0150-0,0199 7
0,0200-0,0249 0
0,0250-0,0299 15
0,0300-0,0349 0
0,0350-0,0399 0
0,0400-0,0449 0
0,0450-0,0499 5
TOTAL
Pede-se:
Qual a declividade média?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de declividade em classes e o número de ocorrências em cada classe. Os dados relevantes fornecidos são:
  • Classes de declividade e número de ocorrências:
    • \,0{,}0000\!-\!0{,}0049:\;249
    • \,0{,}0050\!-\!0{,}0099:\;69
    • \,0{,}0100\!-\!0{,}0149:\;13
    • \,0{,}0150\!-\!0{,}0199:\;7
    • \,0{,}0200\!-\!0{,}0249:\;0
    • \,0{,}0250\!-\!0{,}0299:\;15
    • \,0{,}0300\!-\!0{,}0349:\;0
    • \,0{,}0350\!-\!0{,}0399:\;0
    • \,0{,}0400\!-\!0{,}0449:\;0
    • \,0{,}0450\!-\!0{,}0499:\;5
Não há outras informações necessárias; a pergunta é: “Qual a declividade média?”

Passo 2

O que é a “declividade média” aqui e como calculamos?
Quando temos uma distribuição por classes com contagens, a declividade média é a média ponderada dos valores das classes, onde os pesos são as contagens. Como não conhecemos o valor exato dentro de cada classe, usamos o ponto médio de cada classe como representante dessa classe.
A fórmula da média ponderada que vamos usar é
\bar{s} = \frac{\sum_{i} n_i \, s_i}{\sum_{i} n_i},
onde:
  • \bar{s} é a declividade média (m/m),
  • n_i é o número de ocorrências na classe i,
  • s_i é o valor representativo da classe i (aqui: o ponto médio da classe).

Passo 3

Como calcular o ponto médio s_i de cada classe?
Se uma classe vai de \,a até \,b, o ponto médio é
s_i = \frac{a+b}{2}.
Vou calcular o ponto médio para cada classe (todos os números em m/m):
  • Para \,0{,}0000\!-\!0{,}0049:\; s_1 = \frac{0{,}0000+0{,}0049}{2} = 0{,}00245.
  • Para \,0{,}0050\!-\!0{,}0099:\; s_2 = \frac{0{,}0050+0{,}0099}{2} = 0{,}00745.
  • Para \,0{,}0100\!-\!0{,}0149:\; s_3 = \frac{0{,}0100+0{,}0149}{2} = 0{,}01245.
  • Para \,0{,}0150\!-\!0{,}0199:\; s_4 = \frac{0{,}0150+0{,}0199}{2} = 0{,}01745.
  • Para \,0{,}0200\!-\!0{,}0249:\; s_5 = \frac{0{,}0200+0{,}0249}{2} = 0{,}02245.
  • Para \,0{,}0250\!-\!0{,}0299:\; s_6 = \frac{0{,}0250+0{,}0299}{2} = 0{,}02745.
  • Para \,0{,}0300\!-\!0{,}0349:\; s_7 = 0{,}03245.
  • Para \,0{,}0350\!-\!0{,}0399:\; s_8 = 0{,}03745.
  • Para \,0{,}0400\!-\!0{,}0449:\; s_9 = 0{,}04245.
  • Para \,0{,}0450\!-\!0{,}0499:\; s_{10} = 0{,}04745.

Passo 4

Agora multiplico cada n_i pelo seu s_i (essa é a coluna “Coluna 2 * Coluna 5” pedida na tabela) e calculo a soma dos produtos. Vou mostrar cada produto:
  • n_1 s_1 = 249 \times 0{,}00245 = 0{,}61005.
  • n_2 s_2 = 69 \times 0{,}00745 = 0{,}51405.
  • n_3 s_3 = 13 \times 0{,}01245 = 0{,}16185.
  • n_4 s_4 = 7 \times 0{,}01745 = 0{,}12215.
  • n_5 s_5 = 0 \times 0{,}02245 = 0.
  • n_6 s_6 = 15 \times 0{,}02745 = 0{,}41175.
  • n_7 s_7 = 0 \times 0{,}03245 = 0.
  • n_8 s_8 = 0 \times 0{,}03745 = 0.
  • n_9 s_9 = 0 \times 0{,}04245 = 0.
  • n_{10} s_{10} = 5 \times 0{,}04745 = 0{,}23725.
Agora somo esses produtos:
\sum_{i} n_i s_i = 0{,}61005 + 0{,}51405 + 0{,}16185 + 0{,}12215 + 0{,}41175 + 0{,}23725 = 2{,}05710.

Passo 5

Somar as ocorrências para obter o total \sum_i n_i:
\sum_i n_i = 249 + 69 + 13 + 7 + 0 + 15 + 0 + 0 + 0 + 5 = 358.

Passo 6

Aplicar a fórmula da média ponderada:
\bar{s} = \frac{\sum_i n_i s_i}{\sum_i n_i} = \frac{2{,}05710}{358} \approx 0{,}005746.
Interpretação: \bar{s} = 0{,}005746 em unidades \mathrm{m/m}. Para dar intuição, isso equivale a aproximadamente 0{,}005746\times 1000 \approx 5{,}746 metros por quilômetro (m/km), ou seja, em média a bacia tem cerca de 5{,}75 m de desnível por cada 1 km horizontal.

Passo 7

Resumo prático do procedimento para a prova (dica rápida):
  • Calcule o ponto médio de cada classe com \,s_i=(a+b)/2.
  • Calcule n_i s_i para cada classe e some.
  • Divida pela soma das ocorrências.
    Esse é o jeito mais rápido e seguro de obter a declividade média a partir de uma distribuição por classes.

Resposta

0,005746 m/m (aprox. 0,00575 m/m; ≈ 5,75 m/km)

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