O período do movimento de uma partícula oscilante é de 8, 0 s. No instante t=0 a partícula está em repouso em x=A= 10 cm .
Achar a distância coberta no primeiro, no segundo, no terceiro e no quarto segundo depois de t=0.
Um corpo de 1,2 kg está pendurado em certa mola vertical cuja constante de força é de 300 N / m e oscila com velocidade máxima de 30 cm / s. (a) Qual o deslocamento máximo do corpo? Quando o corpo estiver no ponto de deslocamento máximo para baixo, calcular (b) a energia total do sistema, (c) a energia potencial gravitacional e (d) a energia potencial da mola. (Seja U=0 na posição de equilíbrio do corpo pendurado na mola.)

Passo 1

O enunciado envolve dois tópicos de oscilação:
1. Uma partícula em MHS com período T=8,0 s e amplitude A=10 cm, solta em t=0 em x=A com velocidade nula, e pede a distância percorrida no 1º, 2º, 3º e 4º segundo.
2. Um corpo de massa m=1,2 kg preso a uma mola de constante k=300 N/m que atinge velocidade máxima vmax=30 cm/s. Pede (a) o deslocamento máximo A, e quando estiver no ponto mais baixo (quebra de movimento) calcular (b) energia total E, (c) energia potencial gravitacional Ug e (d) energia potencial da mola Us, tomando Ug=0 na posição de equilíbrio.

Passo 2

Para o MHS da partícula usamos
x(t)=Acos(omega t),
com omega=2pi/T=pi/4 rad/s. A velocidade é
v(t)=-A,omegasin(omega t)
No intervalo 0<= t<=4 s, sin(omega t)>=0, então lvert v(t)rvert=Aomegasin(omega t) e a distância percorrida entre t1 e t2 é
s=integralt1^t2Aomegasin(omega t),dt =Al[-cos(omega t)r]t1^t2 =Al[cos(omega t1)-cos(omega t2)r]

Passo 3

Calculando para cada segundo ( A=0,10 m, omega=pi/4):
s1=0,10l[cos(0)-cos(tfracpi4)r] =0,10l[1-tfracraiz22r]approx0,0293 m,
s2=0,10l[cos(tfracpi4)-cos(tfracpi2)r] =0,10l[tfracraiz22-0r]approx0,0707 m,
s3=0,10l[cos(tfracpi2)-cos(tfrac3pi4)r] =0,10l[0-(-tfracraiz22)r]approx0,0707 m,
s4=0,10l[cos(tfrac3pi4)-cos(pi)r] =0,10l[-tfracraiz22-(-1)r]approx0,0293 m
Convertendo para centímetros:
s1approx2,93 cm, s2approx7,07 cm, s3approx7,07 cm, s4approx2,93 cm

Passo 4

Para o corpo na mola, a frequência é
omega=raizkm=raiz3001,2= raiz250 rad/s
A velocidade máxima em MHS satisfaz vmax=A,omega, logo
A=vmaxomega =0,30raiz250 m approx0,01898 mapprox1,90 cm

Passo 5

A energia total é
E=tfrac12,m,vmax^2 =tfrac12cdot1,2cdot(0,30)^2 =0,054 J

Passo 6

Tomando Ug=0 na posição de equilíbrio e considerando para baixo x=+A, a energia potencial gravitacional é
Ug=-m,g,A =-1,2cdot9,8cdot0,01898 approx-0,223 J

Passo 7

A energia potencial elástica no ponto de deslocamento máximo ( x=A) é
Us=tfrac12,k,A^2 =tfrac12cdot300cdot(0,01898)^2 approx0,054 J,
que coincide com E pois ali a velocidade é zero.

Resposta

Distâncias percorridas no 1.º, 2.º, 3.º e 4.º segundo:
2,93 cm, 7,07 cm, 7,07 cm, 2,93 cm
(a) Aapprox1,90 cm
(b) E=0,054 J
(c) Ugapprox -0,223 J
(d) Usapprox0,054 J

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