O período de rotação da lua é igual ao seu período sideral de translação: um dia na Lua dura cerca de 27 dias solares na Terra. Sabendo que a lua possui um raio de aproximadamente 1740 km e uma massa de 7,35 times 10^19 toneladas, determine sua energia cinética de rotação. (Dica: considere a lua uma esfera maciça que gira em torno de um eixo que passa pelo centro de massa.)

Passo 1

Vamos calcular a energia cinética de rotação da Lua. Esse problema pertence à física do movimento rotacional. Para resolvê-lo, vamos precisar entender como calcular a energia cinética de um corpo em rotação, utilizando o momento de inércia e a velocidade angular.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a energia cinética de rotação ( Ecinéticaé) de um objeto é dada pela fórmula:
Ecinética = 12 I omega^2 é
Aqui, I é o momento de inércia e omega é a velocidade angular.

Passo 3

O momento de inércia ( I) depende da forma do objeto e de como sua massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma esfera maciça que gira ao redor de um eixo que passa pelo seu centro, o momento de inércia é calculado por:
I = 25 m r^2
Onde:
  • m é a massa da esfera.
  • r é o raio da esfera.

Passo 4

Vamos identificar os valores fornecidos no problema:
  • Massa da Lua: m = 7,35 times 10^19 toneladas.
  • Raio da Lua: r = 1740 km.
  • Período de rotação da Lua: T = 27 dias.
Primeiro, vamos converter a massa e o raio para unidades do Sistema Internacional (SI):
  • 1 tonelada = 10^3 kg, então:
    m = 7,35 times 10^19 toneladas times 10^3 kgtonelada = 7,35 times 10^22 kg
  • 1 km = 10^3 m, então:
    r = 1740 km times 10^3 mkm = 1,74 times 10^6 m

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento de inércia ( I) da Lua usando a fórmula da esfera:
I = 25 times 7,35 times 10^22 kg times (1,74 times 10^6 m)^2
Primeiro, calculamos r^2:
(1,74 times 10^6 m)^2 = 3,0276 times 10^12 m^2
Então:
I = 25 times 7,35 times 10^22 times 3,0276 times 10^12 = 25 times 2,224 times 10^35 approx 8,896 times 10^34 kg·m^2

Passo 6

Em seguida, precisamos determinar a velocidade angular ( omega) da Lua. A velocidade angular está relacionada ao período de rotação ( T) pela fórmula:
omega = 2piT
Antes disso, convertemos o período T de dias para segundos:
T = 27 dias times 24 hdia times 3600 sh = 2,3328 times 10^6 s
Agora, calculamos omega:
omega = 2pi2,3328 times 10^6 s approx 2,695 times 10^-6 rad/s

Passo 7

Finalmente, substituímos os valores de I e omega na fórmula da energia cinética de rotação:
Ecinética = 12 times 8,896 times 10^34 kg·m^2 times (2,695 times 10^-6 rad/s)^2 é
Calculando omega^2:
(2,695 times 10^-6)^2 approx 7,273 times 10^-12 rad^2/s^2
Então:
Ecinética = 12 times 8,896 times 10^34 times 7,273 times 10^-12 approx 12 times 6,476 times 10^23 = 3,238 times 10^23 J é

Resposta

A energia cinética de rotação da Lua é aproximadamente 3,24 times 10^23 joules.

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