(2.0 pt) Permutam-se de todos os modos possíveis os algarismos 1,2,4,5,7,9 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. Que lugar ocupa o número 597412 ?

Passo 1

O enunciado pede a posição (em ordem crescente) do número formado por \{5,9,7,4,1,2\} dentro de todas as permutações dos dígitos \{1,2,4,5,7,9\}. O conteúdo é o cálculo de posto lexicográfico de uma permutação.

Passo 2

Vamos contar quantas permutações começam com dígito menor que o primeiro dígito de 597412, que é 5. Os dígitos disponíveis em ordem são 1,2,4,5,7,9, e os menores que 5 são 1,2,4, três opções. Para cada opção restam 5 dígitos a permutar, ou seja 5! = 120 permutações cada.
Cálculo:
3 \times 5! = 3 \times 120 = 360.

Passo 3

Agora fixamos o primeiro dígito em 5 e olhamos o segundo dígito de 597412, que é 9. Dos dígitos restantes \{1,2,4,7,9\}, os menores que 9 são 1,2,4,7, quatro opções. Para cada uma restam 4 dígitos, total 4! = 24 permutações cada.
Cálculo e acúmulo:
4 \times 4! = 4 \times 24 = 96,\quad 360 + 96 = 456.

Passo 4

Com os dois primeiros fixos em 5,9, o terceiro dígito de 597412 é 7. Dos restantes \{1,2,4,7\}, há três menores 1,2,4, cada caso gera 3! = 6 permutações.
Cálculo e acúmulo:
3 \times 3! = 3 \times 6 = 18,\quad 456 + 18 = 474.

Passo 5

Agora fixamos 5,9,7 e o quarto dígito é 4. Dos restantes \{1,2,4\}, há duas menores 1,2, cada uma gera 2! = 2 permutações.
Cálculo e acúmulo:
2 \times 2! = 2 \times 2 = 4,\quad 474 + 4 = 478.

Passo 6

Faltam agora os dois últimos dígitos 1,2. Quando o quinto dígito é 1, não há nenhum restante menor. E para o sexto dígito 2 também não há. Logo não acrescentamos mais permutações e mantemos o total precedente 478. Para encontrar a posição, somamos 1 (a própria permutação):
478 + 1 = 479.

Resposta

479

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