(2,0 pts) Quantos são os inteiros entre 250 e 3000 que são divisíveis por 5,7 ou 35 ? (Incluindo 250 e 3000.)

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos inteiros no intervalo de 250 a 3000 (inclusive) são divisíveis por 5, por 7 ou por 35. O conteúdo que vamos usar é o de progressões aritméticas para contar múltiplos e o princípio da inclusão–exclusão para evitar dupla contagem.

Passo 2

Contagem dos múltiplos de 5. Esses formam uma progressão aritmética cuja primeira termo é o menor múltiplo de 5>=250, isto é 250, e cujo último termo é o maior múltiplo de 5<=3000, isto é 3000. Se escrevermos esses termos como
250 = 5 \times 50,\quad 3000 = 5 \times 600,
o número de termos é
600 - 50 + 1 = 551.

Passo 3

Contagem dos múltiplos de 7. O primeiro múltiplo de 7>=250 é
7 \times \lceil 250/7\rceil = 7 \times 36 = 252,
e o último múltiplo de 7<=3000 é
7 \times \lfloor 3000/7\rfloor = 7 \times 428 = 2996.
Assim, o número de múltiplos de 7 é
428 - 36 + 1 = 393.

Passo 4

Contagem dos múltiplos de 35 (que são os múltiplos comuns de 5 e 7). O primeiro múltiplo de 35>=250 é
35 \times \lceil 250/35\rceil = 35 \times 8 = 280,
e o último múltiplo de 35<=3000 é
35 \times \lfloor 3000/35\rfloor = 35 \times 85 = 2975.
Logo, há
85 - 8 + 1 = 78
múltiplos de 35 nesse intervalo.

Passo 5

Aplicando o princípio da inclusão–exclusão para os conjuntos A de múltiplos de 5 e B de múltiplos de 7,
|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|.
Substituindo:
|A \cup B| = 551 + 393 - 78 = 866.

Resposta

866

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