(2,0 pts) Quantos são os inteiros entre 250 e 3000 que são divisíveis por 5,7 ou 35 ? (Incluindo 250 e 3000.)
Passo 1
O enunciado pede para contar quantos inteiros no intervalo de 250 a 3000 (inclusive) são divisíveis por 5, por 7 ou por 35. O conteúdo que vamos usar é o de progressões aritméticas para contar múltiplos e o princípio da inclusão–exclusão para evitar dupla contagem.
Passo 2
Contagem dos múltiplos de 5. Esses formam uma progressão aritmética cuja primeira termo é o menor múltiplo de
, isto é 250, e cujo último termo é o maior múltiplo de
, isto é 3000. Se escrevermos esses termos como
o número de termos é
Passo 3
Contagem dos múltiplos de 7. O primeiro múltiplo de
é
e o último múltiplo de
é
Assim, o número de múltiplos de 7 é
Passo 4
Contagem dos múltiplos de 35 (que são os múltiplos comuns de 5 e 7). O primeiro múltiplo de
é
e o último múltiplo de
é
Logo, há
múltiplos de 35 nesse intervalo.
Passo 5
Aplicando o princípio da inclusão–exclusão para os conjuntos
de múltiplos de 5 e
de múltiplos de 7,
Substituindo:
Resposta
866