(2,0 \mathrm{pts}) Qual o maior coeficiente de \left(\frac{4}{3} x+3\right)^{30} ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o maior coeficiente na expansão de
\biggl(\tfrac{4}{3}x + 3\biggr)^{30}.
Esse é um problema de Teorema Binomial: ao expandir \bigl(a x + b\bigr)^n, o coeficiente que acompanha x^k é
\binom{n}{k}\,a^k\,b^{\,n-k}.
Aqui n=30, a=\tfrac{4}{3} e b=3. Vamos usar isso para achar o k que maximiza o coeficiente e, em seguida, calcular esse coeficiente.

Passo 2

A fórmula geral para o coeficiente de x^k é
C_k = \binom{30}{k}\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)^k\,3^{30-k}.
Para comparar C_k com C_{k+1}, consideramos a razão
r_k = \frac{C_{k+1}}{C_k} = \frac{\binom{30}{k+1}(\tfrac{4}{3})^{k+1}3^{30-(k+1)}}% {\binom{30}{k}(\tfrac{4}{3})^k\,3^{30-k}} = \frac{30-k}{k+1}\,\frac{4}{9}.

Passo 3

Para que a sequência C_k esteja crescendo, precisamos de r_k\ge1, ou seja
\frac{30-k}{k+1}\,\frac{4}{9}\;\ge\;1 \quad\Longrightarrow\quad (30-k)\,4 \;\ge\;(k+1)\,9 \quad\Longrightarrow\quad 120 - 4k \;\ge\;9k + 9 \quad\Longrightarrow\quad 13k \;\le\;111 \quad\Longrightarrow\quad k \;\le\;\tfrac{111}{13}\approx8{,}54.
Como k é inteiro, r_k\ge1 até k=8. Logo C_k cresce de k=0 até k=9 (já que r_8>1) e depois decresce (pois r_9<1). O máximo ocorre em k=9.

Passo 4

Assim, o maior coeficiente é
C_9 = \binom{30}{9}\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)^{9} \,3^{30-9} = \binom{30}{9}\,4^{9}\,3^{12}.
Se quisermos o valor numérico, lembre que \binom{30}{9}=14\,307\,150, 4^9=262\,144 e 3^{12}=531\,441. Mas normalmente deixamos em forma factorizada.

Resposta

O maior coeficiente é
\binom{30}{9}\,4^{9}\,3^{12},
e ocorre no termo x^9.

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