Um jogador de vôlei move seu braço, que pesa
, a uma velocidade angular média de
durante a execução de uma cortada. Se o momento de inércia médio do braço estendido é de
, qual é o raio de giro médio do braço durante o corte? (Resposta: 0,35 m) (pág. 568)
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma grandeza específica.
Dados:
- a massa do braço:
; - a velocidade angular média:
(dado fornecido no enunciado); - o momento de inércia médio do braço estendido:
.
Pedido:
- encontrar o raio de giro médio do braço durante o corte (ou seja, o valor de
tal que o momento de inércia do corpo seja ).
Passo 2
O que é o momento de inércia e como ele se relaciona com a massa e a distribuição de massa:
- O momento de inércia
, mede a resistência de um corpo à mudança do seu movimento de rotação em torno de um eixo. Ele depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. - Em termos integrais, para um corpo contínuo,
, onde é a distância de cada pequeno elemento de massa ao eixo. Aqui não precisamos calcular essa integral porque o enunciado já deu .
Passo 3
Definição e interpretação do raio de giro:
- O raio de giro
é uma forma de representar uma distribuição de massa como se toda a massa estivesse concentrada a uma distância única do eixo, mantendo o mesmo momento de inércia. - A relação que define o raio de giro é
onde
é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo,
é a massa total e
é o raio de giro. Aqui
tem unidades de comprimento (metros).
Passo 4
Observação sobre a velocidade angular
:
- A
dada ( ) descreve quão rápido o braço gira, e aparece em quantidades como energia cinética rotacional . - Porém, para achar o raio de giro
só precisamos de e . Logo, é informação supérflua para este cálculo.
Passo 5
Isolando
da relação
:
- Resolvendo para
obtemos
- Aqui explico cada símbolo:
é o momento de inércia ( ), é a massa ( ), e terá unidade de metros ( ).
Passo 6
Substituição numérica com conta passo a passo:
- Primeiro formamos a razão
:
- Calculando a divisão:
- Agora extraímos a raiz quadrada:
- Arredondando de forma prática para duas casas decimais (como pede a resposta guia):
Passo 7
Verificação rápida e interpretação:
- Unidade:
está em , coerente. - Interpretação:
significa que, em termos de momento de inércia, o braço age como se sua massa total estivesse concentrada a do eixo de rotação — um valor razoável para o comprimento efetivo de um braço estendido. - Você fez certinho: a velocidade angular não entrou no cálculo, então não se deixe confundir por dados extras na prova. Confia que essa técnica de usar
é direta e rápida.