Um jogador de vôlei move seu braço, que pesa 3,7 \mathrm{~kg}, a uma velocidade angular média de 15 \mathrm{rad} / \mathrm{s} durante a execução de uma cortada. Se o momento de inércia médio do braço estendido é de 0,45 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m} 2, qual é o raio de giro médio do braço durante o corte? (Resposta: 0,35 m) (pág. 568)

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma grandeza específica.
Dados:
  • a massa do braço: m = 3,7\\ \mathrm{kg};
  • a velocidade angular média: \omega = 15\\ \mathrm{rad/s} (dado fornecido no enunciado);
  • o momento de inércia médio do braço estendido: I = 0,45\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
Pedido:
  • encontrar o raio de giro médio do braço durante o corte (ou seja, o valor de k tal que o momento de inércia do corpo seja I = m k^{2}).

Passo 2

O que é o momento de inércia e como ele se relaciona com a massa e a distribuição de massa:
  • O momento de inércia \,I, mede a resistência de um corpo à mudança do seu movimento de rotação em torno de um eixo. Ele depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.
  • Em termos integrais, para um corpo contínuo, \,I=\int r^{2}\,dm, onde r é a distância de cada pequeno elemento de massa dm ao eixo. Aqui não precisamos calcular essa integral porque o enunciado já deu I.

Passo 3

Definição e interpretação do raio de giro:
  • O raio de giro k é uma forma de representar uma distribuição de massa como se toda a massa estivesse concentrada a uma distância única k do eixo, mantendo o mesmo momento de inércia.
  • A relação que define o raio de giro é
I = m k^{2},
onde I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo, m é a massa total e k é o raio de giro. Aqui k tem unidades de comprimento (metros).

Passo 4

Observação sobre a velocidade angular \omega:
  • A \omega dada ( 15\\ \mathrm{rad/s}) descreve quão rápido o braço gira, e aparece em quantidades como energia cinética rotacional \left( K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}\right).
  • Porém, para achar o raio de giro k só precisamos de I e m. Logo, \omega é informação supérflua para este cálculo.

Passo 5

Isolando k da relação \,I = m k^{2}:
  • Resolvendo para k obtemos
k = \sqrt{\frac{I}{m}}.
  • Aqui explico cada símbolo: I é o momento de inércia ( \mathrm{kg\cdot m^{2}}), m é a massa ( \mathrm{kg}), e k terá unidade de metros ( \mathrm{m}).

Passo 6

Substituição numérica com conta passo a passo:
  • Primeiro formamos a razão \dfrac{I}{m}:
\frac{I}{m}=\frac{0,45}{3,7}.
  • Calculando a divisão:
\frac{0,45}{3,7}\approx 0,1216216\ldots
  • Agora extraímos a raiz quadrada:
k=\sqrt{0,1216216\ldots}\approx 0,3487\ldots\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando de forma prática para duas casas decimais (como pede a resposta guia):
k \approx 0,35\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Verificação rápida e interpretação:
  • Unidade: k está em \mathrm{m}, coerente.
  • Interpretação: k\approx 0,35\\ \mathrm{m} significa que, em termos de momento de inércia, o braço age como se sua massa total estivesse concentrada a 0,35\\ \mathrm{m} do eixo de rotação — um valor razoável para o comprimento efetivo de um braço estendido.
  • Você fez certinho: a velocidade angular não entrou no cálculo, então não se deixe confundir por dados extras na prova. Confia que essa técnica de usar k=\sqrt{I/m} é direta e rápida.

Resposta

0,35\\ \mathrm{m}

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