Perto da extremidade aberta de um tubo há uma fonte que emite sons com frequência entre 500 Hz e 6100 Hz. A outra extremidade do tudo é fechada. A fonte consegui provocar 11 ressonâncias diferentes no tudo, sendo a menor e a maior frequência que provocam ressonâncias 765 Hz e 5865 Hz.
Qual é a frequência do primeiro harmônico do tubo?

Passo 1

O enunciado diz que temos um tubo com uma extremidade aberta e a outra fechada. Próximo da parte aberta tem uma fonte que emite entre 500 Hz e 6100 Hz, e foram observadas 11 ressonâncias diferentes: a menor em 765 Hz e a maior em 5865 Hz.
Conteúdo: ressonância em tubo de extremidade aberta/fechada.
O que precisamos: entender que nesse tipo de tubo só surgem harmônicos ímpares, dados por
fn = (2n-1),f1
onde é a frequência do primeiro harmônico (fundamental) e .

Passo 2

Vamos numerar o primeiro pico de ressonância como sendo o harmônico fmin = (2n1-1),f1 = 765 Hz, de modo que
fmax = (2n2-1),f1 = 5865 Hz
e o último pico como , com
Como só aparecem os ímpares, os índices são .

Passo 3

Sabemos que existem 11 ressonâncias consecutivas de harmônicos ímpares. A diferença entre o maior e o menor índice ímpar é
(2n2-1) - (2n1-1) = 2,(n2 - n1),
E o número de termos numa progressão de diferença 2 é
N = (2n2-1) - (2n1-1)2 + 1 = n2 - n1 + 1 = 11,
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n2 - n1 = 10,

Passo 4

Agora subtrai 5865 - 765 = (2n2-1),f1 - (2n1-1),f1 = 2(n2 - n1),f1 = 2cdot10,f1 = 20,f1, de 20,f1 = 5865 - 765 = 5100Longrightarrow f1 = 510020 = 255 Hz:

Então

Resposta

A frequência do primeiro harmônico do tubo é 255 Hz.

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