Prove que
inteiro. Isto prova, em particular, que
é uma função periódica de período
i.
Passo 1
Vamos resumir o problema: Precisamos provar que a equação $ e^{z} = 1 $ é verdadeira se e somente se $ z = 2k\pi i $, onde $ k $ é um número inteiro. Além disso, isso mostrará que a função $ e^{z} $ é periódica com período $ 2\pi i $. Para resolver, vamos usar conceitos de números complexos e propriedades da função exponencial.
Passo 2
Primeiro, lembrando que um número complexo $ z $ pode ser escrito como $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais, e $ i $ é a unidade imaginária. A função exponencial para números complexos é dada por:
Passo 3
Queremos que $ e^{z} = 1 $. Sabemos que o número 1 pode ser representado no plano complexo como $ 1 + 0i $. Então, igualando as duas expressões:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver a segunda equação: $ e^{x} \sin y = 0 $. Como $ e^{x} $ é sempre positivo para qualquer valor real de $ x $, a única maneira de essa equação ser verdadeira é se $ \sin y = 0 $. Isso acontece quando:
Passo 5
Com $ y = k\pi $, vamos substituir na primeira equação:
Sabemos que $ \cos(k\pi) = (-1)^{k} $. Então:
Para que isso seja verdade, $ (-1)^{k} $ deve ser 1, o que ocorre quando $ k $ é par. Ou seja, podemos escrever $ k = 2n $, onde $ n $ é um inteiro. Assim:
Passo 6
Agora que temos $ x = 0 $ e $ k = 2n $, substituímos de volta em $ z = x + iy $:
Onde $ n $ é um número inteiro.
Resposta
Concluímos que $ e^{z} = 1 $ se e somente se $ z = 2k\pi i $, onde $ k $ é um número inteiro. Portanto, a função $ e^{z} $ é periódica com período $ 2\pi i $.