Prove que e^z=1 Leftrightarrow z=2 k pi i, k inteiro. Isto prova, em particular, que e^z é uma função periódica de período 2 pi i.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Precisamos provar que a equação $ e^{z} = 1 $ é verdadeira se e somente se $ z = 2k\pi i $, onde $ k $ é um número inteiro. Além disso, isso mostrará que a função $ e^{z} $ é periódica com período $ 2\pi i $. Para resolver, vamos usar conceitos de números complexos e propriedades da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, lembrando que um número complexo $ z $ pode ser escrito como $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais, e $ i $ é a unidade imaginária. A função exponencial para números complexos é dada por:
z

Passo 3

Queremos que $ e^{z} = 1 $. Sabemos que o número 1 pode ser representado no plano complexo como $ 1 + 0i $. Então, igualando as duas expressões:
e^z = 1
Isso nos dá o sistema de equações:
1 + 0i

Passo 4

Vamos resolver a segunda equação: $ e^{x} \sin y = 0 $. Como $ e^{x} $ é sempre positivo para qualquer valor real de $ x $, a única maneira de essa equação ser verdadeira é se $ \sin y = 0 $. Isso acontece quando:
e^x sin y = 0 é

Passo 5

Com $ y = k\pi $, vamos substituir na primeira equação:
y = kpi
Sabemos que $ \cos(k\pi) = (-1)^{k} $. Então:
e^x cos(kpi) = 1
Para que isso seja verdade, $ (-1)^{k} $ deve ser 1, o que ocorre quando $ k $ é par. Ou seja, podemos escrever $ k = 2n $, onde $ n $ é um inteiro. Assim:
cos(kpi) = (-1)^k

Passo 6

Agora que temos $ x = 0 $ e $ k = 2n $, substituímos de volta em $ z = x + iy $:
x = 0
Onde $ n $ é um número inteiro.

Resposta

Concluímos que $ e^{z} = 1 $ se e somente se $ z = 2k\pi i $, onde $ k $ é um número inteiro. Portanto, a função $ e^{z} $ é periódica com período $ 2\pi i $.

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