Um peso de 125 g é atado a uma mola de constante elástica igual a 2 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e a um amortecedor com \mathrm{c}=1 \mathrm{~N} \mathrm{~s} / \mathrm{m}. Se o peso parte de um ponto 1 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para baixo, determine \mathrm{y}(\mathrm{t})

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a função deslocamento y(t):
  • Massa do corpo: 125\\ \mathrm{g}=0{,}125\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=2\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}.
  • Coeficiente de amortecimento: c=1\\ \mathrm{N\,s}/\mathrm{m}.
  • Condições iniciais (o corpo parte 1\\ \mathrm{m} abaixo da posição de equilíbrio, com velocidade de 8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} para baixo):
    • y(0)=1 (escolhendo y positivo para baixo, medido a partir da posição de equilíbrio),
    • y'(0)=8 (velocidade para baixo positiva).
  • O objetivo: determinar y(t) para todos t\ge0.

Passo 2

Modelagem do sistema e montagem da equação diferencial.
  • Para um movimento vertical com y medido a partir da posição de equilíbrio, as forças restauradora da mola e de amortecimento são -k y e -c y' respectivamente (sinais negativos porque agem no sentido oposto ao deslocamento/velocidade tomadas positivas).
  • A força peso mg já está equilibrada pela deformação estática da mola quando se escolhe a origem em posição de equilíbrio; por isso não aparece o termo mg na equação final. Resultado: a equação de movimento é a homogênea
m y'' + c y' + k y = 0.

Passo 3

Substituir os valores numéricos e simplificar para a forma padrão.
  • m=0{,}125, c=1, k=2.
  • Dividindo por m obtemos
y'' + \frac{c}{m} y' + \frac{k}{m} y = 0.
  • Calcular os coeficientes:
\frac{c}{m}=\frac{1}{0{,}125}=8,\qquad \frac{k}{m}=\frac{2}{0{,}125}=16.
  • Portanto a EDO ficou
y'' + 8 y' + 16 y = 0.

Passo 4

Resolver a equação característica associada.
  • A equação característica é
r^2 + 8 r + 16 = 0.
  • Essa quadrática fatoriza como
r^2 + 8 r + 16 = (r+4)^2 = 0,
logo há uma raiz dupla
r=-4\quad(\text{multiplicidade }2).

Passo 5

Escrever a solução geral para o caso de raiz dupla.
  • Quando a equação característica tem raiz real dupla r=\alpha, a solução geral da EDO homogênea é
y(t) = (C_1 + C_2 t) e^{\alpha t}.
  • Aqui \alpha=-4, então a solução geral é
y(t) = (C_1 + C_2 t) e^{-4 t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
  • Da solução, em t=0 obtemos
y(0)=C_1 = 1,
pois y(0)=1 foi dado.
  • Calculamos y'(t). Derivando
y'(t)=\frac{d}{dt}\big[(C_1 + C_2 t)e^{-4t}\big] = \big(C_2 -4(C_1 + C_2 t)\big)e^{-4t}.
  • Avaliando em t=0:
y'(0)=C_2 -4 C_1.
  • Usando y'(0)=8 e C_1=1:
C_2 -4\cdot 1 = 8 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 12.

Passo 7

Escrever a solução particular com as constantes encontradas e comentar o comportamento.
  • Substituindo C_1=1 e C_2=12 na solução geral:
y(t) = (1 + 12 t)\,e^{-4 t}.
  • Observação rápida: a solução decai exponencialmente para zero sem oscilações (sistema supercriticamente ou criticamente amortecido; aqui é caso crítico com raiz dupla).

Resposta

y(t)=(1+12t)e^{-4t}\\ \mathrm{m}

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