Um peso de 125 g é atado a uma mola de constante elástica igual a
e a um amortecedor com
. Se o peso parte de um ponto 1 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de
para baixo, determine
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a função deslocamento
:
- Massa do corpo:
. - Constante elástica da mola:
. - Coeficiente de amortecimento:
. - Condições iniciais (o corpo parte
abaixo da posição de equilíbrio, com velocidade de para baixo): -
(escolhendo positivo para baixo, medido a partir da posição de equilíbrio), -
(velocidade para baixo positiva).
-
- O objetivo: determinar
para todos .
Passo 2
Modelagem do sistema e montagem da equação diferencial.
- Para um movimento vertical com
medido a partir da posição de equilíbrio, as forças restauradora da mola e de amortecimento são e respectivamente (sinais negativos porque agem no sentido oposto ao deslocamento/velocidade tomadas positivas). - A força peso
já está equilibrada pela deformação estática da mola quando se escolhe a origem em posição de equilíbrio; por isso não aparece o termo na equação final. Resultado: a equação de movimento é a homogênea
Passo 3
Substituir os valores numéricos e simplificar para a forma padrão.
-
, , . - Dividindo por
obtemos
- Calcular os coeficientes:
- Portanto a EDO ficou
Passo 4
Resolver a equação característica associada.
- A equação característica é
- Essa quadrática fatoriza como
logo há uma raiz dupla
Passo 5
Escrever a solução geral para o caso de raiz dupla.
- Quando a equação característica tem raiz real dupla
, a solução geral da EDO homogênea é
- Aqui
, então a solução geral é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 6
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
- Da solução, em
obtemos
pois
foi dado.
- Calculamos
. Derivando
- Avaliando em
:
- Usando
e :
Passo 7
Escrever a solução particular com as constantes encontradas e comentar o comportamento.
- Substituindo
e na solução geral:
- Observação rápida: a solução decai exponencialmente para zero sem oscilações (sistema supercriticamente ou criticamente amortecido; aqui é caso crítico com raiz dupla).