Um sistema massa-mola-amortecedor possui massa \mathrm{m}=25 \mathrm{Kg} e coeficiente de elasticidade da mola \mathrm{k}=4900 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Qual deve ser o coeficiente de amortecimento B para que o sistema seja criticamente amortecido? Após encontrar o valor de B, determine y(t)

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Dados: m=25\\ \mathrm{kg} e k=4900\\ \mathrm{N/m}.
  • Perguntas:
    1. Qual deve ser o coeficiente de amortecimento B para que o sistema seja criticamente amortecido?
    2. Após encontrar B, determine y(t).

Passo 2

Modelagem e equação do movimento (sem forçante): a equação diferencial que descreve o deslocamento y(t) de um sistema massa-mola-amortecedor é
m\,y''(t)+B\,y'(t)+k\,y(t)=0.
Explicando cada termo:
  • m\,y''(t) é a inércia (força de massa), com m em \mathrm{kg} e y'' em \mathrm{m/s^2}.
  • B\,y'(t) é a força de amortecimento (proporcional à velocidade), com B em \mathrm{N\cdot s/m}.
  • k\,y(t) é a força da mola (proporcional ao deslocamento), com k em \mathrm{N/m}.

Passo 3

Condição de amortecimento crítico: para a equação quadrática característica
m r^2 + B r + k = 0
o sistema é criticamente amortecido quando a raiz dupla ocorre, isto é, quando o discriminante é zero:
\Delta = B^2 - 4 m k = 0.
Dessa condição decorre a fórmula do amortecimento crítico:
B_{\text{crit}} = 2\sqrt{m k}.
Aqui a ideia física: amortecimento crítico é o valor de B que faz as duas soluções exponenciais se juntarem numa solução do tipo polinômio vezes exponencial — isso dá o retorno ao equilíbrio sem oscilar e o mais rápido possível sem ultrapassos.

Passo 4

Cálculo numérico de B_{\text{crit}}. Primeiro calcular \sqrt{m k}:
\sqrt{m k}=\sqrt{25\cdot4900}=\sqrt{122500}=350.
Portanto
B_{\text{crit}}=2\cdot350=700.
Unidade: \mathrm{N\cdot s/m}. Também é útil a frequência natural não amortecida
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{4900}{25}}=\sqrt{196}=14\\ \mathrm{s^{-1}}.
Observação: B_{\text{crit}}=2m\omega_n=2\cdot25\cdot14=700, consistência verificada.

Passo 5

Forma da solução quando há raiz dupla. Com B=B_{\text{crit}} a equação característica tem raiz dupla
r=-\frac{B}{2m}=-\omega_n.
Para uma raiz dupla r a solução geral da ODE homogênea é
y(t)=(C_1 + C_2 t)e^{r t}.
Explicando: quando as raízes são distintas a solução é combinação linear de e^{r_1 t} e e^{r_2 t}. Quando há repetição (raízes iguais) a segunda solução independente é t e^{r t}, daí o fator C_2 t.

Passo 6

Substituindo r=-\omega_n obtemos a solução geral no caso crítico:
y(t)=(C_1 + C_2 t)e^{-\omega_n t},
onde \omega_n=14\\ \mathrm{s^{-1}}. Aqui C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 7

Determinar C_1 e C_2 a partir de condições iniciais genéricas. Defina y(0)=y_0 e y'(0)=v_0 (esses são os parâmetros iniciais que normalmente a prova fornece; se não der, deixa-se em termos de y_0 e v_0).
  • Avaliando y(0):
y(0)=(C_1 + C_2\cdot 0)e^{0}=C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1=y_0.
  • Derivando y(t):
y'(t)=\frac{d}{dt}\big[(C_1 + C_2 t)e^{-\omega_n t}\big] = C_2 e^{-\omega_n t} -(C_1 + C_2 t)\omega_n e^{-\omega_n t}.
Avaliar em t=0:
y'(0)=C_2 - \omega_n C_1 = v_0.
Substituindo C_1=y_0 obtemos
C_2 = v_0 + \omega_n y_0.

Passo 8

Escrevendo a solução final em função de y_0 e v_0: usando \omega_n=14,
y(t)=\big(y_0 + (v_0+\omega_n y_0)\,t\big)e^{-\omega_n t}.
Ou de forma equivalente,
y(t)=\big(y_0 + (v_0+14\,y_0)\,t\big)e^{-14 t}.
Esta é a resposta geral para o caso criticamente amortecido, válida para quaisquer condições iniciais y(0)=y_0 e y'(0)=v_0.

Resposta

B=700\\ \mathrm{N\cdot s/m}
y(t)=\big(y_0+(v_0+\omega_n y_0)\,t\big)e^{-\omega_n t}, com \omega_n=14\\ \mathrm{s^{-1}} (ou y(t)=\big(y_0+(v_0+14y_0)\,t\big)e^{-14t}).

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