Um sistema massa-mola-amortecedor possui massa
e coeficiente de elasticidade da mola
. Qual deve ser o coeficiente de amortecimento B para que o sistema seja criticamente amortecido? Após encontrar o valor de B, determine y(t)
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede duas coisas:
- Dados:
e . - Perguntas:
- Qual deve ser o coeficiente de amortecimento
para que o sistema seja criticamente amortecido? - Após encontrar
, determine .
- Qual deve ser o coeficiente de amortecimento
Passo 2
Modelagem e equação do movimento (sem forçante): a equação diferencial que descreve o deslocamento
de um sistema massa-mola-amortecedor é
Explicando cada termo:
-
é a inércia (força de massa), com em e em . -
é a força de amortecimento (proporcional à velocidade), com em . -
é a força da mola (proporcional ao deslocamento), com em .
Passo 3
Condição de amortecimento crítico: para a equação quadrática característica
o sistema é criticamente amortecido quando a raiz dupla ocorre, isto é, quando o discriminante é zero:
Dessa condição decorre a fórmula do amortecimento crítico:
Aqui a ideia física: amortecimento crítico é o valor de
que faz as duas soluções exponenciais se juntarem numa solução do tipo polinômio vezes exponencial — isso dá o retorno ao equilíbrio sem oscilar e o mais rápido possível sem ultrapassos.
Passo 4
Cálculo numérico de
. Primeiro calcular
:
Portanto
Unidade:
. Também é útil a frequência natural não amortecida
Observação:
, consistência verificada.
Passo 5
Forma da solução quando há raiz dupla. Com
a equação característica tem raiz dupla
Para uma raiz dupla
a solução geral da ODE homogênea é
Explicando: quando as raízes são distintas a solução é combinação linear de
e
. Quando há repetição (raízes iguais) a segunda solução independente é
, daí o fator
.
Passo 6
Substituindo
obtemos a solução geral no caso crítico:
onde
. Aqui
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 7
Determinar
e
a partir de condições iniciais genéricas. Defina
e
(esses são os parâmetros iniciais que normalmente a prova fornece; se não der, deixa-se em termos de
e
).
- Avaliando
:
- Derivando
:
Avaliar em
:
Substituindo
obtemos
Passo 8
Escrevendo a solução final em função de
e
: usando
,
Ou de forma equivalente,
Esta é a resposta geral para o caso criticamente amortecido, válida para quaisquer condições iniciais
e
.