Um peso de
repousa sobre uma mola na base de um plano sem atrito, inclinado num ângulo de
com a horizontal. A mola tem uma configuração tal que é necessária uma força de
para comprimi-la a uma distância de
. A mola é comprimida através de uma distância de
( o peso repousando sobre ela durante o processo) e subitamente solta e, assim, o peso é projetado plano acima. Encontre a velocidade do peso depois que ele ter se deslocado
ao longo do plano.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um peso de
que está descansando sobre uma mola na base de um plano inclinado sem atrito, que faz um ângulo de
com a horizontal. A mola precisa de uma força de
para ser comprimida em
. Ela é comprimida mais, em
, e depois solta, fazendo o peso subir o plano. A gente precisa descobrir qual é a velocidade do peso depois que ele percorre
pelo plano.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial elástica, energia cinética e trabalho contra a gravidade. Vamos por partes para ficar mais fácil de entender.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a constante da mola (
). Sabemos que a força (
) necessária para comprimir a mola é dada pela fórmula:
Onde:
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia potencial armazenada na mola quando ela é comprimida em
. A energia potencial elástica (
) é dada por:
Substituindo os valores:
Então, a mola armazena aproximadamente
de energia.
Passo 4
Quando a mola é solta, essa energia potencial é convertida em energia cinética (
) do peso. Portanto, a energia cinética inicial do peso é igual à energia potencial da mola:
Vamos encontrar a massa (
) do peso. Sabemos que:
Passo 5
Agora, podemos encontrar a velocidade inicial (
) do peso usando a energia cinética:
Então, a velocidade inicial do peso ao sair da mola é de aproximadamente
.
Passo 6
Agora, precisamos considerar a subida do peso pelo plano inclinado. À medida que ele sobe, ele perde energia cinética devido ao trabalho contra a gravidade. A altura (
) que o peso alcança ao subir uma distância
no plano é:
A energia potencial ganhada (
) é:
Passo 7
A energia cinética restante após subir os
é a energia inicial menos a energia ganha:
Agora, usando a energia cinética restante para encontrar a velocidade final (
):
Resposta
A velocidade do peso após se deslocar
ao longo do plano é aproximadamente
.