Um peso de 88,98 N repousa sobre uma mola na base de um plano sem atrito, inclinado num ângulo de 37^circ com a horizontal. A mola tem uma configuração tal que é necessária uma força de 533,9 N para comprimi-la a uma distância de 2,54 cm. A mola é comprimida através de uma distância de 15,24 cm ( o peso repousando sobre ela durante o processo) e subitamente solta e, assim, o peso é projetado plano acima. Encontre a velocidade do peso depois que ele ter se deslocado 3,048 m ao longo do plano.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um peso de 88,98 , N que está descansando sobre uma mola na base de um plano inclinado sem atrito, que faz um ângulo de 37^circ com a horizontal. A mola precisa de uma força de 533,9 , N para ser comprimida em 2,54 , cm. Ela é comprimida mais, em 15,24 , cm, e depois solta, fazendo o peso subir o plano. A gente precisa descobrir qual é a velocidade do peso depois que ele percorre 3,048 , m pelo plano.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial elástica, energia cinética e trabalho contra a gravidade. Vamos por partes para ficar mais fácil de entender.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a constante da mola ( k). Sabemos que a força ( F) necessária para comprimir a mola é dada pela fórmula:
F = k cdot De
Onde:
  • F = 533,9 , N
  • De
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar k:
k = FDe

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia potencial armazenada na mola quando ela é comprimida em 15,24 , cm = 0,1524 , m. A energia potencial elástica ( U) é dada por:
U = 12 k (De
Substituindo os valores:
U = 12 times 21000 times (0,1524)^2 approx 12 times 21000 times 0,0232 approx 21000 times 0,0116 approx 244,92 , J
Então, a mola armazena aproximadamente 244,92 , J de energia.

Passo 4

Quando a mola é solta, essa energia potencial é convertida em energia cinética ( K) do peso. Portanto, a energia cinética inicial do peso é igual à energia potencial da mola:
K = U = 12 m v^2 = 244,92 , J
Vamos encontrar a massa ( m) do peso. Sabemos que:
Peso = m cdot g implies m = Pesog = 88,989,81 approx 9,08 , kg

Passo 5

Agora, podemos encontrar a velocidade inicial ( v0) do peso usando a energia cinética:
12 m v0^2 = 244,92 imath , J
v0^2 = 2 times 244,929,08 approx 489,849,08 approx 53,93
v0 approx raiz53,93 approx 7,34 , m/s
Então, a velocidade inicial do peso ao sair da mola é de aproximadamente 7,34 , m/s.

Passo 6

Agora, precisamos considerar a subida do peso pelo plano inclinado. À medida que ele sobe, ele perde energia cinética devido ao trabalho contra a gravidade. A altura ( h) que o peso alcança ao subir uma distância d = 3,048 , m no plano é:
h = d cdot sin(theta) = 3,048 times sin(37^circ) approx 3,048 times 0,6018 approx 1,830 , m
A energia potencial ganhada ( Ug) é:
Ug = m cdot g cdot h = 9,08 times 9,81 times 1,830 approx 162,43 , J

Passo 7

A energia cinética restante após subir os 3,048 , m é a energia inicial menos a energia ganha:
Krestante = K - Ug = 244,92 - 162,43 approx 82,49 , J
Agora, usando a energia cinética restante para encontrar a velocidade final ( v):
12 m v^2 = 82,49
v^2 = 2 times 82,499,08 approx 164,989,08 approx 18,17
v approx raiz18,17 approx 4,26 , m/s

Resposta

A velocidade do peso após se deslocar 3,048 , m ao longo do plano é aproximadamente 4,26 , m/s.

Exercícios relacionados