O peso específico da água a uma temperatura de t grau C é dado por
P(t) = 1 + a t + b t^2 + c t^3, 0 <= t <= 100 °C
Sendo as constantes a=5.3 * 10^(-5), b=-6.53 * 10^(-6), ec=1.4 * 10^(-8). Qual é a temperatura em que a água apresentará o maior peso especifico?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma fórmula que mostra como o peso específico da água muda com a temperatura. A equação é:
Onde é a temperatura em Celsius, e as constantes são , e . Nosso objetivo aqui é descobrir em qual temperatura essa água terá o maior peso específico. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde o peso específico é máximo.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa entender que para encontrar o máximo de uma função, a gente deve achar onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde a derivada da função é igual a zero. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a . Então, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos igualar ela a zero para encontrar os pontos críticos:
Substituindo os valores das constantes:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação:
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por para eliminar os expoentes negativos:
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática na forma:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 6

Calculando o discriminante ( ):

Passo 7

Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
Então,

Passo 8

Isso resulta em duas soluções:

Passo 9

Agora, precisamos verificar qual dessas temperaturas está dentro do intervalo dado de . A primeira solução, , está fora desse intervalo. Portanto, a única solução válida é .

Passo 10

Para confirmar que esse ponto é realmente um máximo, podemos verificar a segunda derivada ou analisar o comportamento da função. Mas, como estamos buscando apenas a temperatura no intervalo dado onde o peso específico é máximo, e temos apenas um ponto crítico dentro desse intervalo, podemos concluir que a água apresenta o maior peso específico a aproximadamente .

Resposta

A temperatura em que a água apresenta o maior peso específico é aproximadamente .

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