Um peso de 0,5 kg atado a uma mola está em movimento harmônico simples. Determine a equação de movimento se a constante da mola for 1 N / m e o peso for solto 0,5 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de 1,5 m / s para baixo. Expresse a solução na forma x(t)=A sen(omega t+phi).

Passo 1

O exercício trata de um peso de massa m = 0,5,kg preso a uma mola de constante k=1,N/m, em movimento harmônico simples (MHS). Vamos usar a equação\newline
m,x'' + k,x = 0\newline
e aplicar as condições iniciais de deslocamento e velocidade para determinar os parâmetros da solução na forma x(t) = A,sin(omega t + varphi).

Passo 2

Para um MHS sem amortecimento a equação diferencial é
m,x'' + k,x = 0
A frequência angular do sistema é
omega = raizkm = raiz10,5 = raiz2 rad/s
Esta fórmula vem da comparação com x'' + omega^2 x = 0.

Passo 3

A solução geral do MHS pode ser escrita como
x(t) = A,sinl(omega t + varphir)
onde:
  • A é a amplitude do movimento,
  • varphi é a fase inicial,
  • omega já foi encontrada.

Passo 4

No instante inicial t=0 temos as condições:
x(0) = A,sinvarphi = 0,5(metros, abaixo do equilíbrio positive) í
x'(t) = A,omega,cosl(omega t + varphir)
x'(0) = A,omega,cosvarphi = 1,5(m/s para baixo positive)

Passo 5

Para encontrar A elevamos ao quadrado e somamos as duas equações:
(Asinvarphi)^2 + (Acosvarphi)^2 = 0,5^2 + l(1,5omegar)^2
Mas (Asinvarphi)^2 + (Acosvarphi)^2 = A^2, então
A^2 = 0,5^2 + 1,5^2(raiz2)^2 = 0,25 + 2,252 = 0,25 + 1,125 = 1,375
Logo
A = raiz1,375 = raiztfrac118approx 1,173 m

Passo 6

Para a fase varphi, usamos a razão entre as equações iniciais:
tanvarphi = AsinvarphiAcosvarphi = 0,51,5/omega = 0,5,omega1,5 = raiz23
Como tanto sinvarphi quanto cosvarphi são positivos, varphi está no primeiro quadrante:
varphi = arctanl(tfracraiz23r) approx 0,445 rad

Passo 7

Substituindo A, omega=raiz2 e varphi na forma pedida, obtemos a equação completa do movimento.

Resposta

x(t) = \sqrt{\tfrac{11}{8}},\sin\bigl(\sqrt{2},t + \arctan(\tfrac{\sqrt2}{3})\bigr)

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