Um peso de
atado a uma mola está em movimento harmônico simples. Determine a equação de movimento se a constante da mola for
e o peso for solto
abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de
para baixo. Expresse a solução na forma
.
Passo 1
O exercício trata de um peso de massa
preso a uma mola de constante
, em movimento harmônico simples (MHS). Vamos usar a equação\newline
\newline
e aplicar as condições iniciais de deslocamento e velocidade para determinar os parâmetros da solução na forma .
e aplicar as condições iniciais de deslocamento e velocidade para determinar os parâmetros da solução na forma
Passo 2
Para um MHS sem amortecimento a equação diferencial é
A frequência angular do sistema é
Esta fórmula vem da comparação com
.
Passo 3
A solução geral do MHS pode ser escrita como
onde:
-
é a amplitude do movimento, -
é a fase inicial, -
já foi encontrada.
Passo 4
No instante inicial
temos as condições:
Passo 5
Para encontrar
elevamos ao quadrado e somamos as duas equações:
Mas
, então
Logo
Passo 6
Para a fase
, usamos a razão entre as equações iniciais:
Como tanto
quanto
são positivos,
está no primeiro quadrante:
Passo 7
Substituindo
,
e
na forma pedida, obtemos a equação completa do movimento.
Resposta
x(t) = \sqrt{\tfrac{11}{8}},\sin\bigl(\sqrt{2},t + \arctan(\tfrac{\sqrt2}{3})\bigr)