Nos problemas abaixo, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
l) d^4 yd x^4+d^3 yd x^3+d^2 yd x^2=0.

Passo 1

Estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes: y^(4) + y^(3) + y'' = 0. Para resolver, vamos usar a técnica de equação característica, que transforma a EDO numa equação algébrica em r.

Passo 2

Montamos a equação característica substituindo y = e^rx. Assim obtemos:
r^4 + r^3 + r^2 = 0

Passo 3

Fatoramos o polinômio em r:
r^2igl(r^2 + r + 1r) = 0 
Aqui aparecem as raízes: as duplas r=0 (multiplicidade 2) e as raízes da equação quadrática.

Passo 4

Resolvendo r^2 + r + 1 = 0 pelas fórmulas de Bhaskara, temos:
r = rac-1 ,pm, raiz1 - 42 = -tfrac12 ,pm, i,raiz32
São duas raízes complexas conjugadas.

Passo 5

Pela teoria de EDOs com raízes reais repetidas e complexas, a solução geral é combinação linear dos casos:
  • Para r=0 dupla: C1 + C2 x.
  • Para r = -tfrac12 pm itfracraiz32:
    e^-x/2l[C3cos(tfracraiz32x) + C4sin(tfracraiz32x)r].

Resposta

y(x) = C1 + C2 x + e^-x/2l[C3costfracraiz32x + C4sintfracraiz32xr]

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