Nos problemas abaixo, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
l)
.
l)
Passo 1
Estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes:
. Para resolver, vamos usar a técnica de equação característica, que transforma a EDO numa equação algébrica em
.
Passo 2
Montamos a equação característica substituindo
. Assim obtemos:
Passo 3
Fatoramos o polinômio em
:
Aqui aparecem as raízes: as duplas
(multiplicidade 2) e as raízes da equação quadrática.
Passo 4
Resolvendo
pelas fórmulas de Bhaskara, temos:
São duas raízes complexas conjugadas.
Passo 5
Pela teoria de EDOs com raízes reais repetidas e complexas, a solução geral é combinação linear dos casos:
- Para
dupla: . - Para
:
.