Um peso de 2 kg atado a uma mola provoca uma distensão de 9,8 cm na mesma. A massa é solta de uma posição 2 / 3 m acima da posição de equilíbrio com uma velocidade de 5 m / s para baixo.
a) Encontre a equação de movimento.

Passo 1

O enunciado diz que um peso de massa 2 kg preso a uma mola provoca uma distensão de 9,8 cm em equilíbrio. Depois a massa é solta 2/3 m acima da posição de equilíbrio com velocidade de 5 m/s para baixo. O conteúdo é movimento harmônico simples (MHS) e vamos precisar da constante elástica da mola, da equação diferencial de MHS e das condições iniciais para encontrar a solução completa y(t).

Passo 2

Para achar a constante elástica k da mola, usamos que o peso em equilíbrio estica a mola uma distância x₀ de modo que a força elástica k x₀ equilibra o peso m g. Ou seja:
k,x0 = m,g
Substituindo m=2 kg, g=9,8 m/s² e x₀=0,098 m, dá
k = m,gx0 = 2cdot9,80,098 = 200 N/m

Passo 3

No MHS sem amortecimento, a equação de movimento em torno da posição de equilíbrio (medida y a partir do equilíbrio, tomando y positivo para baixo) é
m,y'' + k,y = 0
Dividindo por m, obtemos
y'' + kmy = 0 Longrightarrow y'' + 100,y = 0,
pois k/m = 200/2 = 100. Essa é a EDO característica do MHS com pulsação ω = √100 = 10 rad/s.

Passo 4

A solução geral dessa equação é
y(t) = Acos(10t) + Bsin(10t)
Agora aplicamos as condições iniciais no instante t=0:
  • A posição inicial é 2/3 m acima do equilíbrio, ou seja y(0)=–2/3 (negativo por convenção positiva para baixo).
  • A velocidade inicial para baixo de 5 m/s é y’(0)=+5.
    Calculando em t=0:
y(0)=A = -tfrac23,
y'(t)= -10Asin(10t) +10Bcos(10t)
logo em t=0:
y'(0)=10B = 5 Longrightarrow B=tfrac12

Passo 5

Substituindo A e B na solução geral, a equação de movimento fica
y(t) = -tfrac23cos(10t) + tfrac12sin(10t),
com y medido em metros e t em segundos.

Resposta

y(t) = -tfrac23cos(10t) + tfrac12sin(10t)

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