Um peso de 2 kg atado a uma mola provoca uma distensão de
na mesma. A massa é solta de uma posição
acima da posição de equilíbrio com uma velocidade de
para baixo.
a) Encontre a equação de movimento.
a) Encontre a equação de movimento.
Passo 1
O enunciado diz que um peso de massa 2 kg preso a uma mola provoca uma distensão de 9,8 cm em equilíbrio. Depois a massa é solta 2/3 m acima da posição de equilíbrio com velocidade de 5 m/s para baixo. O conteúdo é movimento harmônico simples (MHS) e vamos precisar da constante elástica da mola, da equação diferencial de MHS e das condições iniciais para encontrar a solução completa y(t).
Passo 2
Para achar a constante elástica k da mola, usamos que o peso em equilíbrio estica a mola uma distância x₀ de modo que a força elástica k x₀ equilibra o peso m g. Ou seja:
Substituindo m=2 kg, g=9,8 m/s² e x₀=0,098 m, dá
Passo 3
No MHS sem amortecimento, a equação de movimento em torno da posição de equilíbrio (medida y a partir do equilíbrio, tomando y positivo para baixo) é
Dividindo por m, obtemos
pois k/m = 200/2 = 100. Essa é a EDO característica do MHS com pulsação ω = √100 = 10 rad/s.
Passo 4
A solução geral dessa equação é
Agora aplicamos as condições iniciais no instante t=0:
- A posição inicial é 2/3 m acima do equilíbrio, ou seja y(0)=–2/3 (negativo por convenção positiva para baixo).
- A velocidade inicial para baixo de 5 m/s é y’(0)=+5.
Calculando em t=0:
logo em t=0:
Passo 5
Substituindo A e B na solução geral, a equação de movimento fica
com y medido em metros e t em segundos.