Use integração dupla para calcular a área da região plana compreendida pelas curvas dadas.
y=sen x e y=cos x, para 0 <= x <= pi4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=sin x e y=cos x no intervalo 0<= x<= tfracpi4. A ideia é usar integral dupla pra calcular integral duplaR dA, ou seja, integrar 1 sobre a região R.

Passo 2

Precisamos descrever a região R em coordenadas: para cada x entre 0 e tfracpi4, y varia de sin x até cos x. Logo a integral dupla vira:
integral duplaR dA = integral0^tfracpi4 integralsin x^cos x 1 , dy , dx
Primeiro, integramos em y:
integralsin x^cos x 1 , dy = cos x - sin x
Agora, integramos o resultado em x:
integral0^tfracpi4 (cos x - sin x) , dx
Para calcular essa integral, lembramos que integral cos x , dx = sin x e integral sin x , dx = -cos x, logo:
integral0^tfracpi4 (cos x - sin x) , dx = l[sin x + cos xr]0^tfracpi4 = l(tfracraiz22+tfracraiz22r) - (0+1) = raiz2 - 1

Resposta

raiz2 - 1

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